গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/প্রমাণের ধরণ-এর উৎস দেখুন

এটি প্রমাণের একটি উদাহরণ। সংজ্ঞা এবং স্বতঃসিদ্ধের জন্য আরেকটি প্রয়োজন।

== ২ এর বর্গমূলের অযৌক্তিকতা ==

<div class="NavFrame" style="border: none;">
<div class="NavFrame" style="border: none;">

<div class="NavHead" style="text-align:left;border:1px solid black; border-spacing:0px; padding:0px; margin:0px; width:45%;background:#ddddff;">
এই ফলাফল নিম্নলিখিত ব্যবহার করে:
</div>

<div class="NavContent" style="text-align:left;border:1px solid black; border-spacing:0px; padding:0px; margin:0px; width:45%;background:#eeeeff;display:none;">
* Definition of rational number.
* Definition of prime and coprime.
* Definition of square root.
</div>

</div></div>'''২ এর বর্গমূল অমূলদ'''

== প্রমাণ ==
এটা স্ববিরোধিতার দ্বারা একটি প্রমাণ, তাই আমরা ধরে নিই যে <math>\sqrt{2} \in \mathbb{Q}</math> তাই <math>\sqrt{2} = \frac{a}{b}</math> যেখানে ''a'' ও ''b'' পরস্পর সহমৌলিক।

এটা থেকে বলা যায় যে <math>2 = \frac{a^2}{b^2}</math> । আবার এভাবে লেখা যায় <math>2b^2 = a^2 \!\,</math> 

যেহেতু <math>b^2 \in \mathbb{Z}</math> , আমরা পাই <math>2 | a^2</math> । যেহেতু ২ মৌলিক, ২ অবশ্যই <math>a^2</math> এর মৌলিক গুণনীয়কগুলির একটি হতে হবে, যা <math> a</math> এর মৌলিক গুণনীয়কও, এইভাবে <math>2 | a</math> ।

তাই আমরা <math>a</math> এর সাথে <math>2k, k \in \mathbb{Z}</math>  প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং আমাদের আছে <math>2b^2 = 4k^2 \!\,</math> 

উভয়পক্ষকে ২ ভাগ করে <math>b^2 = 2k^2 \!\,</math> এবং উপরের মত অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করে, আমদের আছে  <math>2 | b </math>

এখানে আমাদের একটি দ্বন্দ্ব আছে; আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে <math>a</math> এবং <math>b</math> সহমৌলিক ছিল, কিন্তু আমাদের আছে <math>2|a</math> এবং <math>2|b</math>

সুতরাং, অনুমানটি মিথ্যা ছিল এবং <math>\sqrt{2}</math>  মূলদ সংখ্যা হিসাবে লেখা যাবে না। অতএব, এটি অযৌক্তিক।

== মন্তব্য ==

* একটি সাধারণীকরণ হিসাবে একজন দেখাতে পারে যে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।
* একই ফলাফল প্রমাণ করার আরেকটি উপায় হল  <math>x^2-2</math> দেখানো যা আইজেনস্টাইনের মানদণ্ড ব্যবহার করে যুক্তির ক্ষেত্রে একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদ।

{{বইয়ের_বিষয়শ্রেণী}}