গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/গাণিতিক প্রমাণ/সেটতত্ত্বের পরিচয়

সেট নামে পরিচিত বস্তুগুলি প্রায়শই গণিতে ব্যবহৃত হয় এবং সেখানে সেট তত্ত্ব রয়েছে যা সেগুলি অধ্যয়ন করে।যদিও সেট তত্ত্বটি আনুষ্ঠানিকভাবে আলোচনা করা যেতে পারে , এটি প্রয়োজনীয় নয়৷ আমাদের এই বইতে এমন একটি আনুষ্ঠানিক আলোচনা করার প্রয়োজন নেই। আমরা এই পর্যায়ে আনুষ্ঠানিক আলোচনায় আগ্রহী নই এবং বুঝতে পারি না।

যদি আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে সেট তত্ত্ব নিয়ে আলোচনা করব না,তবুও সেট সম্পর্কে কিছু মৌলিক ধারণা বোঝা আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ, যা এই অধ্যায়ে সমাপ্ত করা হবে।

সেট একটি কী?

একে সংজ্ঞায়িত করলে স্বতন্ত্র বস্তুর সংগ্রহ হিসাবে দেখা যেতে পারে (বস্তুগুলিরও সেট করা যেতে পারে)। "ভালভাবে সংজ্ঞায়িত" শব্দটির অস্পষ্টতার কারণে, আমরা এটিকে সেটের সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করি না। পরিবর্তে, আমরা সেটকে একটি আদিম ধারণা হিসাবে বিবেচনা করি (অর্থাৎ পূর্বে-সংজ্ঞায়িত ধারণাগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত নয়)। গণিতের আদিম ধারণার অন্যান্য উদাহরণের মধ্যে রয়েছে বিন্দু এবং রেখা।

আমরা উল্লেখ করেছি সেট হলো সু-সংজ্ঞায়িত বস্তু জগতের সমাবেশ। বস্তুর সমাবেশ গুলোর প্রত্যেকটিকে সেটের উপাদান বলে। আমরা লিখি $a\in A$ মানে $a$ হলো $A$ এর একটি উপাদান। যদি $a$ $A$ এর উপাদান না হয়,তাহলে আমরা লিখি $a\notin A$ । উদাহরণ–

• সমস্ত জোড় সংখ্যার সেট $E$ বিবেচনা করুন। $E$-এর উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত (কিন্তু সীমাবদ্ধ নয়) -২ বা 2, ০ এবং ৪ বা 4 অর্থাৎ, $-2,0,4\in E$।
• ইংরেজি বর্ণমালার (একটি সেট হলে) উপাদান হলো ইংরেজি অক্ষরগুলো ।

সেট বর্ণনা করার উপায়

একটি সেটকে সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করার জন্যে একাধিক উপায় রয়েছে (এই অর্থে যে সেটের অন্তর্গত উপাদানগুলি সুনির্দিষ্টভাবে পরিচিত)। যদি একটি সেটে অল্প সংখ্যক উপাদান থাকে, তাহলে তালিকা পদ্ধতি বেশ কার্যকর হতে পারে। তালিকা পদ্ধতিতে, একটি সেটের উপাদানগুলি এক জোড়া ধনুর্বন্ধনী ({}) এর মধ্যে তালিকাভুক্ত করা হয়। বিশেষ করে, শুধুমাত্র উপাদানগুলির তালিকার ক্রম পরিবর্তন করলে উপস্থাপিত সেটটি পরিবর্তন হয় না৷ উদাহরণস্বরূপ, $\{1,2\}$ এবং $\{2,1\}$ উভয়ই একই সেটের প্রতিনিধিত্ব করছে যার উপাদানগুলি হল 1 এবং 2৷ যদি তালিকাভুক্ত উপাদানগুলি ধনুর্বন্ধনীর( দ্বিতীয় বন্ধনী) জোড়া একই, বিভিন্ন তালিকার আদেশ সহ তালিকা পদ্ধতি দ্বারা তৈরি স্বরলিপিগুলি একই সেটকে নির্দেশ করে৷ এছাড়াও, একটি সেটে একটি নির্দিষ্ট উপাদানকে বারবার তালিকাভুক্ত না করা সেটটিকে পরিবর্তন করে। উদাহরণস্বরূপ, $\{1,1,2,2,2\}$ এবং $\{1,2\}$ উভয়ই একই সেটের প্রতিনিধিত্ব করছে যার উপাদান 1 এবং 2 বিশেষ করে, যদি কোনো সেটে কোনো উপাদান না থাকে, তাহলে তা তালিকার পদ্ধতি বা $\varnothing$ এর উপর ভিত্তি করে $\{\}$ দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই ধরনের সেটকে ফাঁকা সেট বলা হয়। একটি সেট বর্ণনা করার আরেকটি উপায় হল শব্দ ব্যবহার করা। উদাহরণ স্বরূপ, ১০ এর ছোট মৌলিক সংখ্যার সেট $S$ বিবেচনা করুন। আমরা যদি পরিবর্তে তালিকা পদ্ধতি ব্যবহার করি, সেট $S$ $\{2,3,5,7\}$ ; যা প্রতিনিধিত্ব করছে 2,3,5,7 হলো 10 বা ১০ অপেক্ষা ছোট মৌলিক সংখ্যা।

একটি সেট বর্ণনা করার তৃতীয় উপায়টি সুবিধাজনক যখন একটি সেটে অনেক উপাদান থাকে। এই পদ্ধতিটিকে সেট গঠন পদ্ধতি বলা হয়। এই স্বরলিপিতে এক জোড়া ধনুর্বন্ধনীর(দ্বিতীয় বন্ধনী) মধ্যে তিনটি অংশ রয়েছে। তার বর্ণনা সহ নীচে চিত্রিত করা হলো: $$\underset{\text{The set of}}{\underbrace{\{}}\underset{\text{all elements }x}{\underbrace{x}}\underset{\text{such that}}{\underbrace{:}}\underset{\text{the property }P(x)\text{ is satisfied}}{\underbrace{P(x)}}\}$$

যেমনটি কেউ আশা করতে পারে, দুটি সেট যদি সমান হয় এবং শুধুমাত্র যদি তাদের মধ্যে একই উপাদান থাকে। সমানভাবে, দুটি সেট $A$ এবং $B$ যদি সমান হয় এবং শুধুমাত্র যদি $A$ এর প্রতিটি উপাদানও $B$ এর একটি উপাদান হয় এবং $B$ এর প্রতিটি উপাদানও $A$ এর একটি উপাদান হয়। এটি একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে বা একটি সংজ্ঞা৷ যদি দুটি সেট $A$ এবং $B$ সমান হয়, আমরা লিখি $A=B$। যদি না হয়, আমরা $A\ne B$ লিখি।

এই বইটিতে, যখন আমরা একটি সমীকরণ সমাধান করছি, তখন আমরা শুধুমাত্র তার প্রকৃত সমাধান গুলি বিবেচনা করছি যদি না অন্যথায় বলা হয়।

উদাহরণ.

• $\{x:3x+2=0\}=\{-2/3\}$.
• $\{y:y\text{ is a positive odd number}\}=\{1,3,5,\dots \}$.
• $\{z:z\text{ is an English letter}\}=\{a,b,c,\dots ,z,A,B,\dots ,Z\}$.}

অনুশীলন. {ধরুন $a$ এবং $b$ দুটি ভিন্ন উপাদান। নিম্নোক্ত প্রতিটি বাক্য কি সত্য নাকি মিথ্যা?

১. এই সেট {{}} - True. + False. || This set contains one element, namely the empty set $\{\}$.

{$\{\}=\varnothing .$ |type="()"} + True. || These two sets have no elements, thus containing the "same" elements. - False.

{$\{1,1,2,3\}$ is a set. |type="()"} + True. || Even if the element "1" is listed two times, it still represents a set (which can also be denoted by $\{1,2,3\}$). - False.

{$\{x:0<x<2\text{ and }{x}^2=4\}=\{2\}$. |type="()"} - True. + False. || Solving $x^2=4$, we get $x=\pm 2$, but both of them are not between 0 and 2 exclusively, so no $x$ satisfies the given property. As a result, the set on the RHS should be empty. }

{$\{a,b,b\}\in \{\{a,b\},a,b,b\}$. |type="()"} + True. || First, $\{a,b,b\}=\{a,b\}$. Since the set $\{a,b\}$ is an element of the set on RHS, this is true. - False.

{$\{\{a\},\{a\}\}\in \{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$. |type="()"} - True. + False. || First, $\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}$. But set $\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ doesn't contains $\{\{a\}\}$, it only contains $\{a\}$, which is not the same. </quiz> }} }