আপেক্ষিকতা ও বিশ্বতত্ত্ব/ফ্রিদমান-ল্যমেত্র্‌-রবার্টসন-ওয়াকার মেট্রিক

ক্রিস্টোফেল সংকেত

$d{s}^2=d{t}^2-e^{g(x^0)+f(r)}[d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)]$

$L=\frac{d{s}^2}{d{s}^2}=\frac{d{t}^2}{d{s}^2}-e^{g(x^0)+f(r)}[\frac{d{r}^2}{d{s}^2}+r^2(\frac{d{\theta }^2}{d{s}^2}+{\sin }^2\theta \frac{d{\varphi }^2}{d{s}^2})]$

$\Rightarrow L={\dot{t}}^2-e^{g(x^0)+f(r)}[{\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^{2}theta{\dot{\varphi }}^2)]$

অয়লার-লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ $\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\alpha }}=\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha }}$

মুক্তভাবে পতনশীল বস্তুর গতির সমীকরণ, ${\ddot{x}}^{\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }$

এখানে, $\alpha =\tau =0,1,2,3$ এবং $x^0=t,x^1=r,x^2=\theta ,x^3=\varphi$