সাধারণ আপেক্ষিকতা/আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব

সাধারণ আপেক্ষিকতা বুঝতে হলে শুরু করতে হবে বিশেষ আপেক্ষিকতা থেকে। আলবার্ট আইনস্টাইন ১৯০৫ সালে আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব প্রণয়ন করেছিলেন। বিশেষ থেকে সাধারণ তত্ত্বে যেতে তার সময় লেগেছে প্রায় ১০ বছর। ১৯১৫ সালে তিনি সাধারণ তত্ত্বটি প্রকাশ করেন যা মহাকর্ষ সম্পর্কে আমাদের ধারণা আমূল পাল্টে দেয়। এই বইয়ে আমরা প্রথমেই দেখব, আইনস্টাইন কি পদ্ধতি অবলম্বন করে বিশেষ থেকে সাধারণ তত্ত্বে গিয়েছিলেন।

মৌলিক স্বীকার্য

আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের মৌলিক স্বীকার্য দুটি:

1. পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রসমূহ সকল জড় প্রসঙ্গ কাঠামো বা পরষ্পরের সাপেক্ষে সমবেগে চলমান কাঠামোগুলোতে একই থাকে।
2. আলোর বেগ একটি সার্বজনীন ধ্রুবক।

গাণিতিক রূপায়ণ

চতুর্মাত্রিক স্থান-কালে একটি বিন্দু ${\mathrm{E}}_1$ চিহ্নিত করা যাক যার স্থানাংক $(ct,x,y,z)$। এই বিন্দুটি থেকে সামান্য দূরে আরেকটি বিন্দু ${\mathrm{E}}_2$ চিহ্নিত করা যাক যার স্থানাংক $\{c(t+dt),x+dx,y+dy,z+dz\}$। এবার জড় প্রসঙ্গ কাঠামো বিবেচনা করলে এই বিন্দু দুটির মধ্যে যে দূরত্ব পাওয়া যায় তাকে মিনকাউস্কি মেট্রিক বলা হয়। এর গাণিতিক রূপ হচ্ছে:

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$

ইউক্লিডীয় স্থানে একটি প্রসঙ্গ কাঠামোকে $\mathit{\theta }$ কোণে ঘোরানোর মাধ্যমে আরেকটি প্রসঙ্গ কাঠামো তৈরি করা হল। মূল কাঠামোর স্থানাংক $(x,y)$ নতুন কাঠামোর স্থানাংক $(x^{\prime },y^{\prime })$। পুরনো থেকে নতুন কাঠামোতে যেতে হলে একটি রূপান্তর মেট্রিক্স ব্যবহার করতে হয়। রূপান্তর মেট্রিক্সের মাধ্যমে স্থানাংক দুটির রূপান্তরের সমীকরণ এভাবে লেখা হয়:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}+cos\theta & +sin\theta \\ -sin\theta & +cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\to$ এখান থেকেই পাওয়া যায়, $x^2+y^2={x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2\Rightarrow d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$

এবার একটি ছদ্ম-ইউক্লিডীয় স্থানে যাওয়া যাক। এটা করার জন্য আমরা সময়ের মাত্রাকে বাস্তব এবং স্থানের মাত্রাকে কাল্পনিক ধরব। উপরের মেট্রিক্সে এ ধরণের পরিবর্তন আনতে হবে: $x\to il,\theta \to i\theta ,y\to ct$। তাহলে মেট্রিক্সটি দাড়াচ্ছে:

$\left(\begin{array}{c}l\\ ct\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}+cosh\theta & +sinh\theta \\ +sinh\theta & +cosh\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{l}^{\prime }\\ c{t}^{\prime }\end{array}\right)\to$ যেখানে, $c^2{t}^2-l^2=c^2{t^{\prime }}^2-{l^{\prime }}^2\Rightarrow d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{l}^2$