গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/প্রমাণের ধরণ

এটি প্রমাণের একটি উদাহরণ। সংজ্ঞা এবং স্বতঃসিদ্ধের জন্য আরেকটি প্রয়োজন।

২ এর বর্গমূলের অযৌক্তিকতা

এই ফলাফল নিম্নলিখিত ব্যবহার করে:

• Definition of rational number.
• Definition of prime and coprime.
• Definition of square root.

২ এর বর্গমূল অমূলদ

প্রমাণ

এটা স্ববিরোধিতার দ্বারা একটি প্রমাণ, তাই আমরা ধরে নিই যে $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ তাই $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ যেখানে a ও b পরস্পর সহমৌলিক।

এটা থেকে বলা যায় যে $2=\frac{a^2}{b^2}$ । আবার এভাবে লেখা যায় $2b^2=a^2$

যেহেতু $b^2\in \mathbb{Z}$ , আমরা পাই $2|a^2$ । যেহেতু ২ মৌলিক, ২ অবশ্যই $a^2$ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলির একটি হতে হবে, যা $a$ এর মৌলিক গুণনীয়কও, এইভাবে $2|a$ ।

তাই আমরা $a$ এর সাথে $2k,k\in \mathbb{Z}$ প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং আমাদের আছে $2b^2=4k^2$

উভয়পক্ষকে ২ ভাগ করে $b^2=2k^2$ এবং উপরের মত অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করে, আমদের আছে $2|b$

এখানে আমাদের একটি দ্বন্দ্ব আছে; আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে $a$ এবং $b$ সহমৌলিক ছিল, কিন্তু আমাদের আছে $2|a$ এবং $2|b$

সুতরাং, অনুমানটি মিথ্যা ছিল এবং $\sqrt{2}$ মূলদ সংখ্যা হিসাবে লেখা যাবে না। অতএব, এটি অযৌক্তিক।

মন্তব্য

• একটি সাধারণীকরণ হিসাবে একজন দেখাতে পারে যে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।
• একই ফলাফল প্রমাণ করার আরেকটি উপায় হল $x^2-2$ দেখানো যা আইজেনস্টাইনের মানদণ্ড ব্যবহার করে যুক্তির ক্ষেত্রে একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদ।