গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/e একটি অমূলদ সংখ্যা

অয়লারের সংখ্যা e এর সিরিজ উপস্থাপনা

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে e অযৌক্তিক। e এর অনেকগুলি উপস্থাপনার মধ্যে, এটি সূচকীয় ফাংশনের জন্য টেলর সিরিজ e^y যা y = 1 এ মূল্যায়ন করা হয়েছে।

প্রমাণের সারাংশ

এটি দ্বন্দ্ব দ্বারা একটি প্রমাণ। প্রাথমিকভাবে e কে a/b ফর্মের একটি মূলদ সংখ্যা বলে ধরে নেওয়া হয়। তারপরে আমরা e প্রতিনিধিত্বকারী সিরিজের একটি প্রস্ফুটিত পার্থক্য x বিশ্লেষণ করি এবং এর কঠোরভাবে ছোট bতম আংশিক যোগফল, যা সীমিত মান e-এর আনুমানিক। ম্যাগনিফাইং ফ্যাক্টরটিকে b হতে বেছে নেওয়ার মাধ্যমে, ভগ্নাংশ a/b এবং bম আংশিক যোগফল পূর্ণসংখ্যায় পরিণত হয়, তাই x হতে হবে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যাইহোক, সিরিজের উপস্থাপনার দ্রুত একত্রিত হওয়া বোঝায় যে বিবর্ধিত অনুমান ত্রুটি x এখনও 1 এর থেকে কঠোরভাবে ছোট। এই দ্বন্দ্ব থেকে আমরা অনুমান করি যে e অযৌক্তিক।

প্রমাণ

ধরি, e একটি মূলদ সংখ্যা। তারপর আছে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b যেমন e = a/b।

সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করুন

$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})$

দেখতে যে x হল একটি পূর্ণসংখ্যা, এই সংজ্ঞায় e = a/b প্রতিস্থাপন করুন

$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$

প্রথম পদটি একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং প্রতিটি পদের জন্য n≤b থেকে যোগফলের প্রতিটি ভগ্নাংশ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই x একটি পূর্ণসংখ্যা।

আমরা এখন প্রমাণ করি যে 0 <x < 1। প্রথমে, x-এর সংজ্ঞায় e-এর উপরোক্ত সিরিজ উপস্থাপনা সন্নিবেশ করান।

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0.$

n ≥ b + 1 সহ সমস্ত পদের জন্য আমাদের উপরের অনুমান আছে

$\frac{b!}{n!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}\le \frac{1}{(b+1{)}^{n-b}},$

যা এমনকি প্রতিটি n ≥ b + 2 এর জন্য কঠোর। যোগফলের সূচককে k = n – b-এ পরিবর্তন করা এবং অসীমের জন্য সূত্র ব্যবহার করা জ্যামিতিক সিরিজ, আমরা প্রাপ্ত

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^k}=\frac{1}{b+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}}\right)=\frac{1}{b}\le 1.$

যেহেতু 0 এবং 1 এর মধ্যে কঠোরভাবে কোন পূর্ণসংখ্যা নেই, আমরা একটি দ্বিধায় পৌঁছেছি তাই e-কে অবশ্যই অমূলদ হতে হবে।