ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশনের অন্তরজ

সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

$y=f(x)=a^x$ আকারের ফাংশনসমূহকে সূচকীয় ফাংশন বলা হয়, যেখানে $a>0$ এবং $a\ne 1$। এরূপ ফাংশনের ডোমেন হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $ℝ$ এবং রেঞ্জ $(0,\mathrm{\infty })$।

$f(x)=a^x$ ফাংশনের জন্য,

$a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}$

${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1\cdot x_2}$

$a^0=1$, $a^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{a}$ এবং $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

a^x এর অন্তরজ নির্ণয়

$(a^x{)}^{\prime }$	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{a^x\cdot a^{\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{a^x(a^{\mathrm{\Delta }x}-1)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$
	$=a^x\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

মনে করি, $M(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left[\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$, এবং তাই, $(a^x{)}^{\prime }=M(a)\cdot a^x$ টেমপ্লেট:কলনবিদ্যা/সংজ্ঞা সূচক ফাংশন একটি এক-এক ফাংশন। সুতরাং এর বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান, যাকে লগারিদমীয় ফাংশন বলা হয়। $f(x)=y=a^x$ এর বিপরীত ফাংশন হবে ${\log }_{a}y=f^{-1}(y)=x$. $f(x)={\log }_{a}x$ আকারের ফাংশনকে লগারিদমীয় ফাংশন বলে, যেখানে লগারিদমের ভিত্তি, $a>0$ এবং $a\ne 1$।

$e$ ভিত্তিক লগারিদমকে স্বাভাবিক লগারিদম বলা হয়। $x$ এর স্বাভাবিক লগারিদম ${\log }_e(x)$ বা $\ln (x)$, এবং $w=\ln (x)$ হলে, $e^w=x$। যেহেতু $e^w>0$, সুতরাং $x>0$। মনে করি,

	$\ln (a)$	$=p$
$⟹$	$e^p$	$=a$
$⟹$	$e^{\ln (a)}$	$=a$
$⟹$	$(e^{\ln (a)}{)}^x$	$=a^x$
$⟹$	$(a^x{)}^{\prime }$	$=(e^{x\ln (a)}{)}^{\prime }$

যেহেতু $\ln (a)$ একটি ধ্রুব সংখ্যা, সুতরাং গুণফল, ভাগফল ও সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ অংশের উদাহরণ - 6 হতে লেখা যায়, $(e^{x\ln (x)}{)}^{\prime }=\ln (a)\cdot (e^{x\ln (x)}{)}^{\prime }(x\ln (x))$ $=\ln (a)\cdot e^{x\ln (x)}$ $=a^x\cdot \ln (a)$। টেমপ্লেট:কলনবিদ্যা/গুরুত্বপূর্ণ সূত্র সুতরাং, $M(a)=\ln (a)=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{a^p-1}{p}$

দুটি ধনাত্মক সংখ্যা $x_1$ এবং $x_2$ এর জন্য,

$\ln (x_1\cdot x_2)=\ln (x_1)+\ln (x_2)$

ln(x) এর অন্তরজ

মনে করি,

	$w$	$=\ln (x)$
$⟹$	$e^w$	$=x$
$⟹$	$\left(e^{\ln (x)}\right)$	$=x^{\prime }$
$⟹$	$(\ln (x){)}^{\prime }\cdot (e^w{)}^{\prime }(w)$	$=1$
$⟹$	$(\ln (x){)}^{\prime }$	$=\frac{1}{(e^w{)}^{\prime }(w)}$
		$=\frac{1}{e^w}$
		$=\frac{1}{x}$

লগারিদমীয় অন্তরীকরণ (Logarithmic Differentiation)

মনে করি $f(x)$ একটি ফাংশন এবং $f(x)>0$। সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র হতে পাই,

	$(\ln (f){)}^{\prime }(x)$	$=$	$(\ln (f){)}^{\prime }(f)\cdot f^{\prime }(x)$
$⟹$	$f^{\prime }(x)$	$=$	$\frac{(\ln (f){)}^{\prime }(x)}{(\ln (f){)}^{\prime }(f)}$
		$=$	$\frac{(\ln (f){)}^{\prime }(x)}{\frac{1}{f}}$
		$=$	$f(x)\cdot (\ln (f){)}^{\prime }(x)$

উদাহরণ - 1:

$x^x$ এর অন্তরজ,

$(x^x{)}^{\prime }$	$=$	$(x^x)\cdot (\ln (x^x){)}^{\prime }$
	$=$	$(x^x)\cdot (x\cdot \ln (x){)}^{\prime }$
	$=$	$(x^x)\cdot (x\cdot (\ln (x){)}^{\prime }+\ln (x)\cdot x^{\prime })$
	$=$	$(x^x)\cdot (1+\ln (x))$

উদাহরণ - 2:

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $r$ এর জন্য $x^r$ ধনাত্মক হলে, এর অন্তরজ,

$(x^r{)}^{\prime }$	$=$	$(x^r)\cdot (\ln (x^r){)}^{\prime }$
	$=$	$(x^r)\cdot (r\cdot \ln (x){)}^{\prime }$
	$=$	$(x^r)\cdot (r\cdot x^{-1})$
	$=$	$r{x}^{r-1}$

আবার, $x^r$ ঋণাত্মক হলে $-x$ ধনাত্মক এবং $|r|$ বিজোড় সংখ্যা হবে। এক্ষেত্রে,

$(x^r{)}^{\prime }$	$=$	$(-(-x^r){)}^{\prime }$
	$=$	$-(-x^r{)}^{\prime }$
	$=$	$(x^r{)}^{\prime }$
	$=$	$r{x}^{r-1}$

অর্থাৎ, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $r\in ℝ$ এর জন্য $x^r$ এর অন্তরজ, $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$।

আমরা দেখেছি, স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি $e$ যা একটি ধ্রুব সংখ্যা। তবে $e$ এর মান কত তা এই উইকিবইয়ে এখন পর্যন্ত নির্ণয় করা হয় নি। সুতরাং $e$ এর মান নির্ণয় করা গুরুত্বপূর্ণ। $e$ এর মান নির্ণয়ে সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি হলো একটি ধারার সাহায্যে নির্ণয় করা। ধারাটি নিম্নরূপ: টেমপ্লেট:কলনবিদ্যা/গুরুত্বপূর্ণ সূত্র সুইস গণিতবিদ লিউনার্দ অয়লার (১৫ এপ্রিল ১৭০৭ – ১৮ সেপ্টেম্বর ১৭৮৩) সর্বপ্রথম এই ধ্রুবকের জন্য $e$ বর্ণ ব্যবহার এবং এর মান নির্ণয়ের জন্য উক্ত অসীম ধারা ব্যবহার করেন। এ ধারা নির্ণয়ে টেইলরের সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে, যা পরবর্তীতে আলোচনা করা হবে। তবে একটি লিমিটের সাহায্যেও এ সংখ্যার মান নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, $\ln (1)=0$ এবং মনে করি, $k=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}$। আমরা লিখতে পারি,

$\ln \left[{(1+\frac{1}{k})}^k\right]$	$=$	$k\cdot \ln (1+\frac{1}{k})$
	$=$	$\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \ln (1+\mathrm{\Delta }x)$
	$=$	$\frac{\ln (1+\mathrm{\Delta }x)-\ln (1)}{\mathrm{\Delta }x}$

এখন,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\mathrm{\Delta }x)-\ln (1)}{\mathrm{\Delta }x}$ $=(\ln (x){)}^{\prime }(1)$ $=\frac{1}{1}$ $=1$

যেহেতু, $k=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}$, অর্থাৎ, $\mathrm{\Delta }x\to 0$ হলে $k\to \mathrm{\infty }$। সুতরাং,

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[{(1+\frac{1}{k})}^k\right]$	$=$	$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[e^{\ln {(1+\frac{1}{k})}^k}\right]$
	$=$	$e^{\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\ln {(1+\frac{1}{k})}^k]}$
	$=$	$e^1$ $=e$

টেমপ্লেট:Status টেমপ্লেট:বইয়ের বিষয়শ্রেণী