কলনবিদ্যা/অন্তরীকরণ/অনুশীলনী

নিম্নোক্ত ফাংশনসমূহের অন্তরজ নির্ণয় কর:

1. $f(x)=5x+87$
2. $f(x)=4x^3+25x^2+9x+3$
3. $f(x)=5x^2\cdot 7^x$
4. $f(x)=x^3\cdot \ln (x^7+1)$
5. $f(x)=\sin (\cos (\tan (x^5)))$
6. $f(x)={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{x^2}\right)$
7. $f(x)=e^{-x^2}$

নিম্নোক্ত সমীকরণসমূহের জন্য $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর:

1. $x^2+y^2=25$
2. $xy+y^2=10$
3. $e^x+e^y=1$
4. $\sin (x)+\cos (y)=2$
5. $x^3+y^3=27$
6. $x^2-2xy+y^2=4$
7. $\ln (x)+\ln (y)=1$

সমস্যা:

1. $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ এবং $\frac{1}{x}$ এর স্পর্শক রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
2. প্রমাণ কর যে, অড (Odd) ফাংশনের অন্তরজ ইভেন (Even) ফাংশন। [উল্লেখ্য, $f(x)$ কোনো ফাংশন হলে, এর ডোমেনে অবস্থিত সকল $x$ এর জন্য $f(-x)=f(x)$ হলে $f(x)$ ইভেন এবং $f(-x)=-f(x)$ হলে $f(x)$ অড।]
3. মনে করি, $x\in [a,b]$ ব্যবধিতে $f(x)$ অবিচ্ছিন্ন। যেকোনো $a<x_1<x_2<b$ এর জন্য $f(a)<f(x_1)<f(x_2)<f(b)$ হলে প্রমাণ কর যে, $f^{\prime }(x)>0$।