গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/বৃহৎ সংখ্যার সূত্র

দেওয়া X1, X2, ... যেটি i.i.d র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল এর একটি অসীম ক্রম সেটার সসীম প্রত্যাশিত মান E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞ , আমরা দেখতে চাই নমুনা গড়ের অভিন্নতা

${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n).$

দুর্বল আইন

উপপাদ্য: ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu \text{for}n\to \mathrm{\infty }.$

প্রমাণ:

এই প্রমাণটি সসীম প্রকরণের অনুমান ব্যবহার করে $\mathrm{Var}(X_i)={\sigma }^2$ (সকল $i$ এর জন্য)। র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বাধীনতা তাদের মধ্যে কোনো পারস্পরিক সম্পর্ককে বোঝায় না, এবং আমাদের আছে

$\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}.$

ক্রমটির সাধারণ গড় μ হলো গড় নমুনার মধ্যক:

$E({\bar{X}}_n)=\mu .$

${\bar{X}}_n$-এ চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করার ফলে

$\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$

এটি নিম্নলিখিতগুলো পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

$\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |<\epsilon )=1-\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu geq\epsilon )\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$

n অসীমের কাছে আসার সাথে সাথে অভিব্যক্তিটি ১ এর কাছে আসে। এবং সম্ভাব্যতার অভিসারের সংজ্ঞা অনুসারে (দেখুন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের অভিন্নতা), আমরা পেয়েছি

${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu \text{for}n\to \mathrm{\infty }.$