গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/জ্যামিতি/কনিক

প্যারাবোলা বৈশিষ্ট্য

ফোকাস (h,k+p) এবং directrix y=k-p সহ একটি প্যারাবোলার উপর বিন্দু (x,y) প্রমাণ করুন যে:

$(x-h{)}^2=4p(y-k)$

এবং এই প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু হল (h,k)

বিবরণ	যুক্তি
(১) ইচ্ছেমত বাস্তব মান h	দেওয়া আছে
(২) ইচ্ছেমত বাস্তব মান k	দেওয়া আছ
(৩) ইচ্ছেমত বাস্তব মান p যেখানে p এর মান 0 নয়	দেওয়া আছ
(৪) রেখা l, যা $y=k-p$ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত হয়	দেওয়া আছ
(৫) ফোকাস F, যা $(h,k+p)$ অবস্থানে অবস্থিত	দেওয়া আছ
(৬) একটি পরাবৃত্ত যার দিকাক্ষ রেখা l এবং ফোকাস F	দেওয়া আছ
(৭) পরাবৃত্ত উপর অবস্থিত বিন্দু $(x,y)$	দেওয়া আছ
(৮) বিন্দু (x, y) কে অবশ্যই ফোকাস বিন্দু f এবং রেখা l থেকে সমদূরতা বজায় রাখতে হবে	পরাবৃত্ত এর সংজ্ঞা
(৯) (x, y) থেকে l পর্যন্ত দূরত্ব হল l-এর লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য এবং এর একটি শেষ বিন্দু $P_1$, l এর উপর অবস্থিত এবং একটি শেষ বিন্দু $P_2$, (x, y) এর উপর অবস্থিত	একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের সংজ্ঞা
(১০) যেহেতু l -এর ঢাল 0, এটি একটি আনুভূমিক রেখা	একটি অনুভূমিক রেখার সংজ্ঞা
(১১) l এর উপর যেকোনো লম্ব হবে উল্লম্ব	যদি রেখাটি একটি অনুভূমিক রেখার সাথে লম্ব হয়, তবে এটি উল্লম্ব হবে।
(১২) l-এর লম্ব রেখায় থাকা সমস্ত বিন্দুর একই x-মান রয়েছে।	উল্লম্ব রেখার সংজ্ঞা
(১৩) $P_1$ বিন্দুর y এর মান হল $k-p$.	(৪) এবং (৯)
(১৪) $P_1$ বিন্দুর x এর মান হল x.	(৭), (৯), and (১২)
(১৫) বিন্দু $P_1$ এর অবস্থান (x, k - p) এ.	(১৩) and (১৪)
(১৬)বিন্দু $P_2$ এর অবস্থান (x, y) এ.	(৯)
(১৭) $P_1{P}_2=\sqrt{(x-x{)}^2+(y-[k-p]{)}^2}$	দূরত্ব সূত্র
(১৮) $P_1{P}_2=\sqrt{(y-k+p{)}^2}$	বণ্টন সূত্র
(১৯) $P_1{P}_2=(y-k+p)$	বর্গমূল প্রয়োগ করি; দূরত্ব ধনাত্মক
(২০) $F{P}_2=\sqrt{(x-h{)}^2+(y-[k+p]{)}^2}$	দূরত্ব সূত্র
(২১) $F{P}_2=\sqrt{(x-h{)}^2+(y-k-p{)}^2}$	বণ্টন সূত্র
(২২) $F{P}_2=P_1{P}_2$	পরাবৃত্ত এর সংজ্ঞা
(২৩) $\sqrt{(x-h{)}^2+(y-k-p{)}^2}=(y-k+p)$	বিয়োগ করে
(২৪) $(x-h{)}^2+(y-k-p{)}^2=(y-k+p{)}^2$	উভয় পক্ষে বর্গ করে
(২৫) $(x-h{)}^2+k^2+p^2+y^2+2kp-2ky-2py=k^2+p^2+y^2-2kp-2ky+2py$	বণ্টন সূত্র
(২৬) $(x-h{)}^2+2kp-2py=2py-2kp$	সমতার বিয়োগ সুত্র
(২৭) $(x-h{)}^2=4py-4kp$	সমতার যোগ সুত্র; সমতার বিয়োগ সুত্র
(২৮) $(x-h{)}^2=4p(y-k)$	বণ্টন সূত্র

প্রতিসাম্যের অক্ষ অনুসন্ধান

বিবরণ	যুক্তি
(২৯) প্রতিসাম্যের অক্ষ উল্লম্ব	(১০); প্রতিসাম্যের অক্ষের সংজ্ঞা; যদি একটি রেখা একটি অনুভূমিক রেখার সাথে লম্ব হয়, তাহলে এটি উল্লম্ব
(৩০) প্রতিসাম্যের অক্ষে (h, k + p) থাকে।.	প্রতিসাম্যের অক্ষের সংজ্ঞা
(৩১) প্রতিসাম্যের অক্ষের সমস্ত বিন্দুতে h এর x -মান রয়েছে।	একটি উল্লম্ব রেখা সংজ্ঞা ; (৩০)
(৩২) প্রতিসাম্যের অক্ষের সমীকরণ হল $x=h$.	(৩১)

শীর্ষবিন্দু অনুসন্ধান

বিবরণ	যুক্তি
(৩৩) শীর্ষবিন্দু প্রতিসাম্যের অক্ষের উপর অবস্থিত।	একটি প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর সংজ্ঞা
(৩৪) শীর্ষবিন্দুর x -মান হল h।	(৩৩) এবং (৩২)
(৩৫) The vertex is contained by the parabola.	শীর্ষবিন্দুর সংজ্ঞা
(৩৬) $(h-h{)}^2=4p(y-k)$	(৩৫); বিয়োগ: (২৮) এবং (৩৪)
(৩৭) $0=4p(y-k)$	সরল করে
(৩৮) $0=y-k$	সমতার বিয়োগ সুত্র
(৩৯) $k=y$	সমতার যোগ সুত্র
(৪০) $y=k$	সমতার প্রতিসম নীতি
(৪১) শীর্ষবিন্দু অবস্থিত $(h,k)$.	(৩৪) এবং (৪০)