অর্থসংস্থানের বিজ্ঞান/ঝুঁকির হিসাব

অর্থনীতিতে সম্ভাবনা

ঝুঁকির গাণিতিক তত্ত্বটি মূলত সম্ভাবনার তত্ত্ব বা প্রবাবিলিটি থিওরি। এটি শুরুর দিকে ভাগ্যের খেলা বা জুয়াখেলার উদ্দেশ্যে তৈরি হয়েছিল। কোনো ধরনের প্রতারণা না থাকলে এর মাধ্যমে জুয়াখেলার গড় লাভ ও ঝুঁকি হিসাব করা যায়। বিজ্ঞানজগতে বিপুল সংখ্যক অণুবিশিষ্ট ভৌত ব্যবস্থার ক্ষেত্রেও এটি প্রয়োগ করা সম্ভব। অণুগুলোর এলোমেলো গতি ব্রাউনীয় গতির অন্তর্গত এবং এগুলো কোনোভাবেই প্রতারণা করতে পারে না। সম্ভাবনা প্রকৃতির মাঝেই বিদ্যমান।

অর্থনীতি কোনো ক্যাসিনো নয়। অর্থনৈতিক প্রতিনিধিরাও ব্রাউনীয় গতি মেনে চলে না না। তাহলে অর্থনীতিতে সম্ভাবনার তাৎপর্য আসলে কী?

যখন কোনো দৈব পরীক্ষাকে বারবার পুনরাবৃত্তি করা যায়, কেবল তখনই আমরা তার সম্ভাবনা পরিমাপ করতে পারি। পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির সংখ্যা n-এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে পরিমাপের নির্ভুলতাও বাড়ে। ভৌত ব্যবস্থার ক্ষেত্রে n-এর মান অণুর সংখ্যার সমান, অর্থাৎ বিলিয়ন বিলিয়ন হতে পারে, কারণ অণুগুলো সব অভিন্ন প্রকৃতির। এ কারণেই সম্ভাব্যতা-ভিত্তিক ভৌত পরিমাপগুলো অত্যন্ত নির্ভুল হয়ে থাকে।

কোনো পরীক্ষার নির্ভুলতা মূলত এর আপেক্ষিক ত্রুটির মাত্রা দিয়ে পরিমাপ করা হয়; ত্রুটির মাত্রাকে পরিমাপকৃত মান দিয়ে ভাগ করলে এটি পাওয়া যায়। গাণিতিকভাবে দেখানো সম্ভব যে, যখন n-এর মান বড় হয় এবং একটি দৈব পরীক্ষা n বার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তখন আপেক্ষিক ত্রুটির মাত্রা n-এর বর্গমূলের বিপরীত মানের সমান হয়।

অর্থনৈতিক প্রতিনিধিরা প্রত্যেকেই একে অপরের চেয়ে আলাদা। একজন কখনই অন্যজনের হুবহু নকল হতে পারে না। তাদের পারিপার্শ্বিক অবস্থাকেও পুনরায় তৈরি করা সম্ভব নয়; কারণ সময় প্রতিনিয়ত বদলায় এবং আমরা কখনই অতীতে ফিরে যেতে পারি না। তাই আপাতদৃষ্টে মনে হয় যে, অর্থনীতিতে কোনো পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির সর্বোচ্চ সংখ্যা কেবল এক হতে পারে, যা সম্ভাবনা পরিমাপের জন্য মোটেও যথেষ্ট নয়।

অর্থনৈতিক প্রতিনিধিরা সম্পূর্ণ অভিন্ন না হলেও অনেক সময় তাদের মধ্যে বেশ সাদৃশ্য দেখা যায়। তাদের পারিপার্শ্বিক অবস্থার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তাই অর্থনৈতিক সম্ভাবনাগুলো কখনো কখনো পরিমাপযোগ্য হয়। এর নির্ভুলতা মূলত পরিমাপের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা এবং বিভিন্ন পরিমাপের মধ্যকার কমবেশি সাদৃশ্যের ওপর নির্ভর করে। তবে প্রায়ই আমাদের অত্যন্ত অস্পষ্ট বা অনির্ভুল অনুমানের ওপরই সন্তুষ্ট থাকতে হয়।

গাণিতিক তত্ত্ব মূলত এ কারণেই কার্যকর যে, এটি আমাদের ঝুঁকি সম্পর্কে যৌক্তিকভাবে ভাবতে শেখায়। যখন সম্ভাবনাগুলো পরিমাপযোগ্য হয়, তখন গাণিতিক মডেলগুলো বাস্তব পরিস্থিতির একটি চমৎকার প্রতিচ্ছবি হিসেবে কাজ করতে পারে।

ঝুঁকি কীভাবে পরিমাপ করা যায়?

কোনো প্রকল্পের ঝুঁকি মূলত এর প্রত্যাশিত চূড়ান্ত রাজস্বের বিস্তৃতি বা ভ্যারিয়েশনের মাধ্যমে পরিমাপ করা হয়।

একটি দৈব পরিমাণ X-কে সম্ভাবনার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যায়। যদি n সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল X(i) থাকে (যেখানে i-এর মান ১ থেকে n পর্যন্ত হতে পারে), তবে আমরা এদের প্রত্যেকটির জন্য ০ থেকে ১-এর মধ্যে (০ ও ১ সহ) একটি সম্ভাবনা p(X = X(i)) নির্ধারণ করি। কোনো সম্ভাবনার মান ১ হওয়ার অর্থ হলো ফলাফলটি নিশ্চিত বা প্রায় নিশ্চিত এবং এটি না ঘটার সম্ভাবনা একেবারেই নেই। অন্যদিকে, সম্ভাবনা শূন্য হলে ফলাফলটি ঘটা প্রায় অসম্ভব।

সমস্ত i-এর জন্য p(X=X(i))-এর যোগফল ১-এর সমান হয়, কারণ ফলাফলটি যে এই X(i)-গুলোর মধ্যেই কোনো একটি হবে, তা নিশ্চিত।

$\sum _{i}p(X=X(i))=1$

গড় E(X), যাকে X-এর প্রত্যাশিত মানও বলা হয়, তা হলো সমস্ত i-এর ক্ষেত্রে p(X = X(i)) এবং X(i)-এর গুণফলের যোগফল।

$E(X)=\sum _{i}p(X=X(i))X(i)$

গড় থেকে বিচ্যুতির পরম মানের গড় হলো বিস্তৃতির (dispersion) একটি পরিমাপ। তবে সাধারণত পরিমিত ব্যবধানকে (অর্থাৎ গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়ের বর্গমূল) বেশি অগ্রাধিকার দেওয়া হয়, কারণ এটি হিসাব করা তুলনামূলকভাবে সহজ।

ভেদাঙ্ক বা ভ্যারিয়েন্স var(X) হলো গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়।

$var(X)=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X){)}^2=E((X-E(X){)}^2)$

পরিমিত ব্যবধান বা স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন std(X) হলো ভেদাঙ্কের ধনাত্মক বর্গমূল।

$std(X)=\sqrt{var(X)}$

পরিমিত ব্যবধান কোনো দৈব পরিমাণের বিস্তৃতি পরিমাপ করলেও এটি ঝুঁকির একমাত্র সূচক নয়। কারণ একই পরিমিত ব্যবধান থাকা সত্ত্বেও গড় থেকে বিচ্যুতিগুলো একেক ক্ষেত্রে ভিন্নভাবে বিস্তৃত হতে পারে। কেবল পরিমিত ব্যবধান নয়, বরং গড় থেকে বিচ্যুতির বণ্টনও ঝুঁকির মূল্যায়নকে প্রভাবিত করতে পারে। তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই পরিমিত ব্যবধানকে ঝুঁকির একটি আদর্শ ও পর্যাপ্ত পরিমাপ হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

একটি প্রকল্পের ঝুঁকি হলো এর প্রত্যাশিত চূড়ান্ত রাজস্বের পরিমিত ব্যবধান।

মুনাফা হলো চূড়ান্ত রাজস্ব ও প্রাথমিক ব্যয়ের মধ্যকার পার্থক্য। প্রাথমিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকলে, মুনাফার পরিমিত ব্যবধান আর চূড়ান্ত রাজস্বের পরিমিত ব্যবধান সমান হয়, তাই এটিও ঝুঁকির একটি পরিমাপ হিসেবে কাজ করে। অন্যদিকে, প্রকল্পের প্রকৃত মুনাফা এবং প্রাথমিক ব্যয়টিকে কোনো ঝুঁকিমুক্ত খাতে বিনিয়োগ করলে যে মুনাফা অর্জিত হতো—এই দুইয়ের পার্থক্যই হলো উদ্বৃত্ত মুনাফা। প্রাথমিক ব্যয় নির্দিষ্ট থাকলে, উদ্বৃত্ত মুনাফার পরিমিত ব্যবধানও মুনাফার পরিমিত ব্যবধানের সমান হয়, যা মূলত একই ঝুঁকি নির্দেশ করে। এর মাধ্যমে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে:

উপপাদ্য: প্রাথমিক ব্যয় নির্দিষ্ট থাকলে, কোনো প্রকল্পের ঝুঁকি হলো তার প্রত্যাশিত উদ্বৃত্ত মুনাফার পরিমিত ব্যবধান।

ঝুঁকির ক্ষতিপূরণ

একটি প্রকল্পের ঝুঁকি অন্য এক বা একাধিক প্রকল্পের ঝুঁকি দিয়ে প্রশমিত (offset) করা যেতে পারে। পারস্পরিক ক্ষতিপূরণের মাধ্যমে ঝুঁকি কমানো হলো একাধিক প্রকল্প বা বিকল্পের সমন্বয়ে নতুন মূল্য সৃষ্টির একটি চমৎকার উদাহরণ; কারণ অর্থনীতিতে ঝুঁকিকে অবশ্যই একটি ব্যয় হিসেবে গণ্য করতে হয়।

মুদ্রা নিক্ষেপের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। একজন ব্যক্তি ১ টাকা ঝুঁকির বিনিময়ে ২ টাকা জেতার আশায় ৫০% (২ বারের মধ্যে ১ বার) সম্ভাবনায় 'টেইল'-এর ওপর বাজি ধরতে পারেন। 'টেইল'-এর ওপর বাজি ধরার অর্থ হলো ২ টাকা জেতার একটি বিকল্প (অপশন) কিনে নেওয়া। এই বিকল্পটির মূল্য হলো ১। এক্ষেত্রে জেতার প্রত্যাশিত মানও ১ (০.৫ × ২)। আর্থিক তত্ত্ব অনুযায়ী, কোনো প্রকল্পের মূল্য কেবল তার প্রত্যাশিত লাভের সমান নয়, বরং এর সাথে ঝুঁকিকেও বিবেচনায় নিতে হয়। একই প্রত্যাশিত লাভের ক্ষেত্রে, প্রকল্প যত বেশি ঝুঁকিপূর্ণ হবে, তার মূল্য তত কমে যাবে। তাই আপাতদৃষ্টে মনে হতে পারে যে 'টেইল'-এ বাজি ধরে ২ জেতার আশায় ১ মূল্য পরিশোধ করা অতিরিক্ত মূল্যায়ন, যেহেতু বাজিটি ঝুঁকিপূর্ণ; কিন্তু এই ধারণাটি ভুল। আমরা চাইলে প্রকল্পগুলোকে সমন্বয় করতে পারি। কয়েকটি প্রকল্পের সম্মিলিত প্রত্যাশিত লাভ হলো সেগুলোর প্রত্যেকটির আলাদা প্রত্যাশিত লাভের যোগফল। আমরা যদি একই সাথে 'হেড' এবং 'টেইল' উভয়ের ওপর বাজি ধরি, তবে আমরা ২ জেতার একটি সম্পূর্ণ ঝুঁকিমুক্ত প্রকল্প পেয়ে যাই। যদি 'হেড' এবং 'টেইল'-এ বাজি ধরার বিকল্পগুলোর সম্মিলিত মূল্য ১-এর কম হতো, তবে আমরা সেগুলোকে একত্রিত করে ২-এর কম বিনিয়োগ করেই ২ জেতার একটি ঝুঁকিমুক্ত প্রকল্প পেতে পারতাম। এভাবে যেকোনো প্রাথমিক বাজি থেকেই বিনা ঝুঁকিতে অসীম মুনাফা অর্জন করা যেত, যা বাস্তবে অসম্ভব। তাই 'হেড' বা 'টেইল'-এ বাজি ধরার বিকল্পগুলোকে তাদের প্রত্যাশিত মূল্য দিয়েই সঠিকভাবে মূল্যায়ন করা হয়। কেউ চাইলে এদের ঝুঁকি উপেক্ষা করতে পারে, কারণ এটি প্রশমিত করা সম্ভব। একটি ঝুঁকিমুক্ত প্রকল্প পাওয়ার জন্য 'হেড'-এ বাজি ধরার ঝুঁকিকে অনায়াসেই 'টেইল'-এ বাজি ধরার ঝুঁকি দিয়ে প্রশমিত করা যায়।

অত্যন্ত ঝুঁকিপূর্ণ একাধিক বিকল্প ব্যবহার করেও একটি ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিও তৈরি করা সম্ভব। এভাবে তৈরি করা ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিওর আয় হলো এটি গঠনকারী সম্পদগুলোর আয়ের ভরযুক্ত যোগফল (weighted sum)। যদি এই সম্পদগুলোর আয় ঝুঁকিমুক্ত সম্পদগুলোর আয়ের চেয়ে বেশি হতো, তবে এভাবে গঠিত ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিওটির আয় অন্যান্য সাধারণ ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিওগুলোর আয়ের চেয়ে বেশি হতো। ফলে যে কেউ সাধারণ ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিও বিক্রি করে এবং এই উচ্চ আয়ের ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিও কিনে বিনা ঝুঁকিতে অসীম মুনাফা করতে পারত। কিন্তু আর্থিক বাজারগুলো কখনোই ঝুঁকি ছাড়া অসীম মুনাফা করার এমন সুযোগ দেয় না। তাই, যখনই ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদগুলো কোনো ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিওর অংশ হওয়ার যোগ্যতা রাখে, তখন সেগুলোকে ঝুঁকিমুক্ত সম্পদের মতোই মূল্যায়ন করা উচিত। একটি ঝুঁকিপূর্ণ সম্পত্তির মূল্যায়ন করার সময় অবশ্যই ঝুঁকি বিবেচনায় নিতে হবে, তবে সম্পত্তির নিজস্ব বা অন্তর্নিহিত ঝুঁকি নয়, বরং সেই পোর্টফোলিওটির ন্যূনতম ঝুঁকি বিবেচনা করতে হবে যার একটি অংশ হলো ওই সম্পত্তিটি। কারণ পোর্টফোলিও তৈরির মাধ্যমে সহজেই ঝুঁকি কমানো যায়, যেখানে একটি ঝুঁকি অন্য একটি ঝুঁকি দিয়ে প্রশমিত হয়। কোনো ঝুঁকির কেবল তখনই ব্যয় থাকে, যখন তাকে প্রশমিত করা যায় না। একটি আর্থিক সম্পদের মূল্যায়নে হ্রাস-অযোগ্য (irreducible) ঝুঁকি অবশ্যই বিবেচনায় রাখতে হবে। এটি এমন এক ধরনের ঝুঁকি যা কোনো পোর্টফোলিও তৈরি করেও আর কমানো সম্ভব নয়। আর্থিক বিকল্প ও অন্যান্য সম্পদগুলোকে ঝুঁকিমুক্ত সম্পদ হিসেবেই মূল্যায়ন করা উচিত, যখনই সেগুলো কোনো ঝুঁকিমুক্ত পোর্টফোলিওর অংশ হতে পারে; কারণ তখন সেগুলোর ঝুঁকি শূন্যে নামিয়ে আনা সম্ভব হয়।

কোনো প্রকল্প বা বিকল্পকে এমনভাবে মূল্যায়ন করা উচিত নয় যেন তা অন্যান্য প্রকল্প থেকে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন; এমনটা করলে ঝুঁকির ব্যয় অত্যধিক মূল্যায়িত হতে পারে। একটি প্রকল্পের সঠিক মূল্যায়নের জন্য আমাদের অবশ্যই হ্রাস-অযোগ্য ঝুঁকির মাত্রা নিরূপণ করতে হবে। তাই একটি সর্বোত্তম বা অপ্টিমাল প্রকল্পের মূল্যে আলোচ্য প্রকল্পটির অবদান কতটুকু, তা মূল্যায়ন করা জরুরি। এই সর্বোত্তম প্রকল্পটি মূলত একাধিক প্রকল্পের সমন্বয়ে গঠিত হয়, যাদের ঝুঁকি একে অপরের ক্ষতিপূরণ আংশিক বা সম্পূর্ণরূপে চমৎকার উপায়ে করে থাকে। একই প্রকল্প ভিন্ন ভিন্ন ঝুঁকিসম্পন্ন একাধিক প্রকল্পে অবদান রাখতে পারে, তবে সেগুলো যদি সর্বোত্তম প্রকল্প হয়, তবে এর অবদানের মূল্য সব সময় একই থাকে।

ঝুঁকিগুলো যদি একে অপরের থেকে স্বাধীন হয় অথবা খুব বেশি নির্ভরশীল না হয়, তবে আমরা সেগুলোকে বৈচিত্র্যময় করে বা ছড়িয়ে দিয়ে (diversification) ঝুঁকি কমাতে পারি। যখন কোনো প্রকল্পের কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করা যায়, তখন এর ঝুঁকি কমানো সম্ভব হয়; তবে শর্ত হলো প্রতিবার এর সফলতা পূর্ববর্তী এবং পরবর্তী সময়ের সফলতার ওপর স্বাধীন বা সামান্য নির্ভরশীল হতে হবে।

ঝুঁকি কমাতেও সময় লাগতে পারে। বর্তমানের ঝুঁকিগুলো অনেক সময় ভবিষ্যতে নেওয়া ঝুঁকি দিয়ে প্রশমিত করা যেতে পারে। যেমন, খারাপ বছরগুলোর ক্ষতি ভালো বছরগুলোর আয় দিয়ে সহজেই পুষিয়ে নেওয়া যায়।

একটি বিমা কোম্পানির মূল কাজই হলো ঝুঁকিগুলোকে প্রশমিত করে কমানো। এটি যদি ঝুঁকি কমাতে না পারে বা যথেষ্ট ভালোভাবে তা করতে ব্যর্থ হয়, তবে এটি নিজেই একটি ঝুঁকিপূর্ণ ব্যবসায় পরিণত হয়। ব্যর্থতার ঝুঁকিতে থাকা কোনো কোম্পানির মাধ্যমে বিমা করা আর মোটেও বিমা না করা—দুটি প্রায় একই কথা।

স্বনির্ভরতা, সহভেদাঙ্ক এবং সহসম্পর্ক

দুটি ঘটনা A এবং B স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমান হয়, অর্থাৎ p(A and B) = p(A) p(B)।

দুটি দৈব পরিমাণ X এবং Y স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি সমস্ত X = X(i) ঘটনা সমস্ত Y = Y(j) ঘটনা থেকে স্বাধীন হয়। অর্থাৎ, সমস্ত i এবং সমস্ত j-এর ক্ষেত্রে p(X=X(i) এবং Y=Y(j)) = p(X=X(i)) p(Y=Y(j)) হতে হবে।

দুটি দৈব পরিমাণের মধ্যকার সহভেদাঙ্ক (covariance) মূলত একটির পরিবর্তনের সাথে অন্যটির পরিবর্তনের সহসম্পর্ক (correlation) পরিমাপ করে। যদি একটির পরিবর্তনে গড়ে অন্যটির পরিবর্তনের চিহ্ন একই থাকে, তবে সহভেদাঙ্ক ধনাত্মক হয়। আর যদি একটির পরিবর্তনে গড়ে অন্যটির বিপরীত চিহ্ন দেখা যায়, তবে সহভেদাঙ্ক ঋণাত্মক হয়। ধনাত্মক সহভেদাঙ্ক মানে হলো পরিমাণগুলো বিপরীত দিকের চেয়ে একই দিকে বেশি হারে পরিবর্তিত হয়। ঋণাত্মক সহভেদাঙ্ক মানে হলো এগুলো একই দিকের চেয়ে বিপরীত দিকে বেশি হারে পরিবর্তিত হয়। অন্যদিকে, শূন্য সহভেদাঙ্ক মানে হলো এগুলো যতবার একই দিকে পরিবর্তিত হয়, ঠিক ততবারই বিপরীত দিকেও পরিবর্তিত হয়।

দুটি দৈব পরিমাণের সহভেদাঙ্ক cov(X,Y) হলো তাদের নিজ নিজ গড় থেকে বিচ্যুতির গুণফলগুলোর গড়, অর্থাৎ E((X-E(X))(Y-E(Y)))।

cov(X,Y) = সমস্ত i এবং j-এর জন্য p(X=X(i) এবং Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y))-এর যোগফল।

উপপাদ্য: সমস্ত দৈব পরিমাণ X, Y, Z এবং যেকোনো বাস্তব সংখ্যা a-এর জন্য,

• cov(X,Y) = cov(Y,X)
• cov(X,X) = var(X)
• cov(X,a) = 0
• cov(X,Y+Z) = cov(X,Y) + cov(X,Z)
• cov(X,Y+a) = cov(X,Y)
• cov(X,aY) = a cov(X,Y)

প্রমাণ: এগুলো সরাসরি সহভেদাঙ্কের সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়।

• var(X+Y) = var(X) + 2cov(X,Y) + var(Y)

প্রমাণ: var(X+Y) = cov(X+Y,X+Y) = cov(X,X) + 2cov(X,Y) + cov(Y,Y)

উপপাদ্য: যদি দৈব পরিমাণ X এবং Y স্বাধীন হয় তবে তাদের সহভেদাঙ্ক শূন্য হবে।

প্রমাণ: $cov(X,Y)=\sum _{i,j}p(X=X(i))p(Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y))=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X))\sum _{j}p(Y=Y(j))(Y(j)-E(Y))=0$, কারণ $\sum _{i}p(Y=Y(j))Y((j)=E(Y)$ এবং $\sum _{j}p(Y=Y(j))=1$।

দুটি দৈব পরিমাণ X এবং Y-এর সহসম্পর্ক সহগ (correlation coefficient) cor(X,Y) হলো তাদের সহভেদাঙ্ককে তাদের পরিমিত ব্যবধানের গুণফল দিয়ে ভাগ করলে প্রাপ্ত মান, অর্থাৎ cov(X,Y)/(std(X) std(Y))।

উপপাদ্য: যদি দুটি দৈব পরিমাণ X এবং Y-এর মধ্যকার সহসম্পর্ক সহগ ১-এর চেয়ে ছোট হয়, তবে তাদের যোগফল X+Y-এর ঝুঁকি তাদের আলাদা ঝুঁকির যোগফলের চেয়ে ছোট হবে।

প্রমাণ: $(std(X+Y){)}^2=var(X+Y)=var(X)+2cov(X,Y)+var(Y)<var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$ যদি $cor(X,Y)<1$ হয়। $(std(X)+std(Y){)}^2=var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$, তাই $(std(X+Y){)}^2<(std(X)+std(Y){)}^2$ এবং $std(X+Y)<std(X)+std(Y)$।

বিশেষ করে, যদি X এবং Y ঝুঁকিপূর্ণ ও স্বাধীন হয়, তবে তাদের যোগফলের ঝুঁকি তাদের পৃথক ঝুঁকির যোগফলের চেয়ে স্পষ্টভাবে ছোট হয়।

উপপাদ্য: যদি দুটি দৈব পরিমাণ X এবং Y-এর মধ্যকার সহসম্পর্ক সহগ cor(X,Y) ১-এর সমান হয়, তবে দুটি বাস্তব সংখ্যা a এবং b বিদ্যমান থাকে, যেখানে a > 0, যেন প্রায় সর্বদা Y = aX +b হয়।

গাণিতিক ভাষায়, কোনো বিবৃতি 'প্রায় সর্বদা' বা 'প্রায় সব জায়গায়' সত্য বলে ধরে নেওয়া হয়, যখন সেটি ঘটার সম্ভাবনা ১-এর সমান হয়।

লেমা বা সহায়ক উপপাদ্য: যদি var(X) = 0 হয় তবে প্রায় সর্বদা X = E(X) হয়।

লেমার প্রমাণ: যদি X এবং E(X)-এর ভিন্ন হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য না হয়, তবে (X - E(X))² > 0 হওয়ার সম্ভাবনাও শূন্য নয়, এবং var(X) > 0 হয়। উপপাদ্যের প্রমাণ: ধরি a = std(Y)/std(X)। var(Y - aX) = var(Y) - 2a cov(X,Y) + a²var(X) = 0 কারণ cov(X,Y) = std(X)std(Y)। তাই প্রায় সর্বদা Y - aX = E(Y) - a E(X) হয়। এখান থেকেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত। যখন দুটি ধ্রুবক a এবং b-এর জন্য Y = aX +b হয়, তখন আমরা বলি যে Y হলো X-এর একটি অ্যাফাইন ফাংশন।

পরবর্তী আলোচনায়, 'প্রায় সর্বদা সত্য' এমন বিবৃতিকে আমরা 'সাধারণভাবে সত্য' বিবৃতির সমতুল্য হিসেবেই বিবেচনা করব।

সর্বোত্তম প্রকল্প

যদি কোনো অর্থনীতিকে অনেকগুলো স্বাধীন প্রকল্পে এমনভাবে ভাগ করা যেত, যেখানে একটি প্রকল্পের সাফল্য বা ব্যর্থতা অন্যগুলোর ওপর নির্ভর করে না, তবে সমস্ত ঝুঁকি প্রশমিত করা সম্ভব হতো এবং সামগ্রিক অর্থনীতির ঝুঁকি প্রায় শূন্যের কাছাকাছি নামিয়ে আনা যেত। কিন্তু একই অর্থনীতির আওতাভুক্ত প্রকল্পগুলো সাধারণত স্বাধীন হয় না। এক পক্ষের সমৃদ্ধি অন্য পক্ষের সমৃদ্ধির ওপর নির্ভর করে। একজনের পতন অন্যদের পতনেরও কারণ হতে পারে। এ কারণেই এমন কিছু ঝুঁকি থাকে যা কোনোভাবেই প্রশমিত করা যায় না। একই অর্থনৈতিক ব্যবস্থার প্রতিনিধিরা পরস্পরের ওপর নির্ভরশীল হওয়ায় ঝুঁকিগুলো অনেক সময় হ্রাস-অযোগ্য (irreducible) হয়ে ওঠে। এই হ্রাস-অযোগ্য ঝুঁকিগুলো মূলত কাঠামোগত বা পদ্ধতিগত।

কোনো প্রকল্প সর্বোত্তম বলে গণ্য হবে যদি এবং কেবল যদি একই গড় মুনাফা ও একই প্রাথমিক ব্যয়বিশিষ্ট অন্যান্য সমস্ত প্রকল্পের তুলনায় এর ঝুঁকি সবচেয়ে কম হয়। একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের ঝুঁকি মূলত হ্রাস-অযোগ্য; কারণ গড় মুনাফা না কমিয়ে এই ঝুঁকি কমানো সম্ভব নয়।

সর্বোত্তম প্রকল্পের উপরের সংজ্ঞাটিকে অন্যভাবেও বলা যায়: কোনো প্রকল্প সর্বোত্তম হবে যদি এবং কেবল যদি একই ঝুঁকি ও একই প্রাথমিক ব্যয়বিশিষ্ট সমস্ত প্রকল্পের তুলনায় এর গড় মুনাফা সবচেয়ে বেশি হয়।

সর্বোত্তম মুনাফার মূল্যায়ন সবসময় বাজার মূল্য, গড় মূল্য বা সাধারণ মূল্যের ভিত্তিতে করা উচিত। এগুলো সামগ্রিক অর্থনীতির সহজলভ্য বিনিয়োগের সুযোগগুলোকে প্রতিফলিত করে। যদি কোনো বিশেষ দরকষাকষির সুযোগ বা সাধারণ বাজারদরের তুলনায় খুব অনুকূল মূল্য পাওয়া যায়, তবে সর্বোত্তম মুনাফা মূল্যায়নের সময় সেগুলোকে হিসেবে ধরা উচিত নয়; কারণ এগুলো কেবল কোনো ভাগ্যবান ব্যক্তির বিশেষ সুবিধা হতে পারে এবং তা সামগ্রিক অর্থনীতির প্রকৃত চিত্র তুলে ধরে না।

একটি সর্বোত্তম প্রকল্পে লিভারেজ

লিভারেজ বা ঋণ-সুবিধা মূলত একটি প্রকল্পের চূড়ান্ত রাজস্ব পরিবর্তনের মাধ্যমে এর প্রাথমিক ব্যয়কে প্রভাবিত করে। কেউ হয়তো ভাবতে পারেন যে এর মাধ্যমে একটি উপ-সর্বোত্তম (suboptimal) প্রকল্পকে একটি সর্বোত্তম প্রকল্পে রূপান্তর করা সম্ভব, কিন্তু এই ধারণাটি ভুল:

উপপাদ্য: যদি কোনো প্রকল্প সর্বোত্তম হয়, তবে এটি আংশিক বা সম্পূর্ণভাবে ঝুঁকিমুক্ত হারে ঋণের দ্বারা অর্থায়ন করা হলেও সর্বোত্তমই থাকে, ফলে লিভারেজ প্রভাবের সুবিধা নেওয়া যায়।

প্রমাণ: ঋণ নিলে সুদ পরিশোধের কারণে গড় মুনাফা কমে যায়, তবে এটি মুনাফার বিস্তৃতি বা ভ্যারিয়েশন পরিবর্তন করে না, কারণ সুদের হার আগে থেকেই নির্ধারিত থাকে। তাই ঋণ নেওয়ার ফলে প্রকল্পের প্রকৃত ঝুঁকি পরিবর্তিত হয় না। অর্থায়ন পদ্ধতির কারণে উদ্বৃত্ত মুনাফাও অপরিবর্তিত থাকে, যা প্রকল্পের ঝুঁকির সাপেক্ষে সর্বোত্তম। সুতরাং, অর্থায়নের পদ্ধতি যেমনই হোক না কেন, প্রকল্পটি সর্বোত্তমই থেকে যায়।

একটি ঝুঁকিপূর্ণ প্রকল্পকে নির্দিষ্ট সময়ভিত্তিক দৈব ব্যয় ও রাজস্বের একটি ধারা বা সিরিজ হিসেবে উপস্থাপন করা হয়, যেখান থেকে প্রাথমিক ব্যয়, চূড়ান্ত রাজস্ব, মুনাফা এবং উদ্বৃত্ত মুনাফা হিসাব করা যায়—আর এর প্রতিটি মানই দৈব প্রকৃতির। ধরি, X হলো এমন একটি দৈব পরিমাণ, যা কোনো ঝুঁকিপূর্ণ প্রকল্পের উদ্বৃত্ত মুনাফাকে নির্দেশ করে।

উপপাদ্য: যদি X এমন একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা হয় যার প্রাথমিক ব্যয় C দৈব নয়, তবে X এমন একটি সর্বোত্তম প্রকল্পেরও দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা যার প্রাথমিক ব্যয় D, তা D এর মান যাই হোক না কেন।

প্রমাণ: যদি D < C হয়, তবে উদ্বৃত্ত মুনাফা পরিবর্তন না করেই প্রাথমিক ব্যয়কে D-তে ফিরিয়ে আনতে ঝুঁকিমুক্ত হারে C - D পরিমাণ ঋণ নেওয়াই যথেষ্ট। যদি D > C হয়, তবে উদ্বৃত্ত মুনাফা পরিবর্তন না করেই প্রাথমিক ব্যয় C থেকে D-তে বৃদ্ধি করতে ঝুঁকিমুক্ত হারে D - C পরিমাণ ধার দেওয়াই যথেষ্ট।

প্রাথমিক ব্যয় যদি দৈব প্রকৃতির হয়, তবে একে সুবিধামতো যেকোনো মান, এমনকি শূন্য হিসেবেও নির্ধারণ করা যেতে পারে। এর জন্য পূর্বনির্ধারিত প্রাথমিক তহবিল বা রাজস্ব—কোনোটি দ্বারাই মেটানো সম্ভব নয় এমন সমস্ত ব্যয়ের জন্য ঋণ নেওয়ার সিদ্ধান্ত নিতে হবে। তাই একটি সর্বোত্তম প্রকল্প কেবল এর দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা দিয়ে মূল্যায়িত হয়, প্রাথমিক ব্যয় দিয়ে নয়:

উপপাদ্য: একটি প্রকল্প সর্বোত্তম হবে যদি এবং কেবল যদি একই গড় উদ্বৃত্ত মুনাফা থাকা সমস্ত প্রকল্পের মধ্যে এর ঝুঁকি সবচেয়ে কম হয়।

প্রমাণ: এটি পূর্ববর্তী উপপাদ্যের একটি সরাসরি ফলাফল।

সর্বোত্তম প্রকল্পের সমন্বয়

উপপাদ্য: যদি X একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা হয়, তবে aX-ও একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের উদ্বৃত্ত মুনাফা হবে, যদি a > 0 হয়।

প্রমাণ: যদি a < 1 হয়, তবে একটি সর্বোত্তম উদ্বৃত্ত মুনাফা aX পাওয়ার জন্য X প্রকল্পের a পরিমাণ শেয়ার কেনাই যথেষ্ট। যদি a > 1 হয়, তবে X প্রকল্পের আকার a গুণ বাড়ানোই যথেষ্ট।

বাজার পরিস্থিতির প্রেক্ষাপটে একটি প্রকল্প তখনই সর্বোত্তম হয়, যখন সেটিকে অসীমভাবে প্রতিলিপিযোগ্য বলে ধরে নেওয়া যায়। এ কারণেই অনুমান করা হয় যে, একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের আকার যেকোনো সময় বাড়ানো সম্ভব। এটি মূলত তাত্ত্বিকভাবে বিষয়টিকে সহজ করার একটি কৌশল। তবে বাস্তবে, প্রকল্পগুলোর আকার বৃদ্ধির ক্ষেত্রে সব সময়ই কিছু সীমাবদ্ধতা থেকে যায়।

উপপাদ্য: যদি X এবং Y দুটি সর্বোত্তম প্রকল্পের দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা হয়, তবে X + Y-ও একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা হবে।

প্রমাণ: আমরা যদি X এবং Y দুটিই কিনি, তবে এমন একটি প্রকল্প পাব যার দৈব উদ্বৃত্ত মুনাফা হবে X + Y। যদি X + Y-এর সম্মিলিত ঝুঁকি X এবং Y-এর আলাদা ঝুঁকির যোগফলের চেয়ে কম হতো, তবে সেগুলোকে একত্রিত করে সাধারণ ঝুঁকি ভাগাভাগির মাধ্যমে X ও Y-এর ঝুঁকি কমানো সম্ভব হতো। কিন্তু এমনটা হলে X এবং Y এককভাবে আর সর্বোত্তম উদ্বৃত্ত মুনাফা হতে পারত না। তাই X + Y-এর ঝুঁকি কখনোই X এবং Y-এর ঝুঁকির যোগফলের চেয়ে কম হতে পারে না, এবং এ কারণে এই সম্মিলিত ঝুঁকি কমানো সম্ভব নয়।

সমস্ত সর্বোত্তম প্রকল্পের মধ্যকার সহসম্পর্ক

উপপাদ্য: দুটি ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্প কখনোই স্বাধীন হতে পারে না।

প্রমাণ: তারা স্বাধীন হলে তাদের একত্রিত করে সহজেই ঝুঁকি কমানো যেত। কিন্তু সর্বোত্তম প্রকল্পগুলোর এমন কিছু ঝুঁকি থাকে যা কোনোভাবেই কমানো যায় না। সুতরাং, তারা পরস্পর স্বাধীন নয়।

বিশেষ করে, একই ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পের পুনরাবৃত্তি করলেও তার ঝুঁকি কমে না; কারণ ধারাবাহিক প্রকল্পগুলো একে অপরের থেকে স্বাধীন নয়।

সর্বোত্তম প্রকল্পগুলোর মধ্যকার পারস্পরিক নির্ভরতা অত্যন্ত শক্তিশালী। সমস্ত সর্বোত্তম প্রকল্প একে অপরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সহসম্পর্কিত বা কো-রিলেটেড:

উপপাদ্য: সর্বোত্তম ঝুঁকিপূর্ণ প্রকল্পগুলোর উদ্বৃত্ত মুনাফা মূলত একই দৈব পরিমাণের সুনির্দিষ্ট ধনাত্মক গুণিতক।

প্রমাণ: ধরি X এবং Y হলো দুটি ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পের উদ্বৃত্ত মুনাফা। তাদের যোগফলের ঝুঁকি std(X+Y) হলো তাদের ঝুঁকির যোগফল std(X) + std(Y)-এর সমান; তা না হলে তাদের একত্রিত করলে ঝুঁকি কমে যেত এবং তারা সর্বোত্তম হতো না। তাই cor(X,Y) = 1। সুতরাং Y = aX + b, যেখানে a এবং b ধ্রুবক, এবং a > 0। Y এবং aX উভয়ই সর্বোত্তম উদ্বৃত্ত মুনাফা, তাই b = 0। ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পগুলোর উদ্বৃত্ত মুনাফা সবই একে অপরের গুণিতক, তাই সেগুলো যেকোনো একটির সমস্ত গুণিতক। এখান থেকেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত।

এই উপপাদ্যটি অত্যন্ত আশ্চর্যজনক, প্রায় অবিশ্বাস্য, এবং এটি অযৌক্তিক মনে হওয়ায় যে কেউ বিভ্রান্ত হতে পারেন। সর্বোত্তম প্রকল্পগুলো ভিন্ন ভিন্ন স্থানে ও সময়ে বাস্তবায়িত হতে পারে। তবে সমস্ত সর্বোত্তম প্রকল্পের চূড়ান্ত রাজস্ব সম্পর্কে ধারণা পেতে কেবল একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের চূড়ান্ত রাজস্ব জানাই যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, এখনই শেষ হওয়া একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের চূড়ান্ত রাজস্ব বিশ্বের যেকোনো প্রান্তে বর্তমান বা ভবিষ্যতের সমস্ত সর্বোত্তম প্রকল্পের চূড়ান্ত রাজস্ব জানার জন্য যথেষ্ট হওয়া উচিত। তাই একটিমাত্র সর্বোত্তম প্রকল্প বাস্তবায়ন করা অনেকটা জাদুর স্ফটিক গোলক বা ম্যাজিক ক্রিস্টাল বলের মতো কাজ করবে, যা দিয়ে বর্তমান ও ভবিষ্যতের সব সর্বোত্তম প্রকল্পের ফলাফল আগেভাগেই বলে দেওয়া যাবে। কিন্তু তখন এই প্রকল্পগুলো আর ঝুঁকিপূর্ণ থাকবে না, কারণ সেগুলোর চূড়ান্ত রাজস্ব আগে থেকেই জানা যাবে। ফলে একটিমাত্র সর্বোত্তম প্রকল্প বাস্তবায়ন করে তার ফলাফল পর্যবেক্ষণ করাই সব ঝুঁকি শূন্যে নামিয়ে আনার জন্য যথেষ্ট হবে এবং তখন আমাদের আর ঝুঁকি তত্ত্ব বা বিমা কোম্পানিগুলোর কোনো প্রয়োজনই থাকবে না।

বাস্তবে আমরা এমন কোনো জাদুর স্ফটিক গোলকের দেখা পাই না, কারণ একটি ঝুঁকিপূর্ণ প্রকল্প সত্যিই সর্বোত্তম কি না, তা আমাদের পক্ষে নিশ্চিতভাবে জানা কখনোই সম্ভব হয় না। প্রকল্পটি বাস্তবায়নের আগে এটি জানা যায় না; কারণ চূড়ান্ত রাজস্বের সম্ভাবনা আগে থেকে নিখুঁতভাবে অনুমান করা অসম্ভব। ঠিক একই কারণে প্রকল্পটি বাস্তবায়নের পরেও তা সর্বোত্তম ছিল কি না, তা নিশ্চিত করে বলা যায় না।

কোনো সর্বোত্তম প্রকল্প শনাক্ত করার উদ্দেশ্যে যখন আমরা ঝুঁকির অনুমান করি, তখন আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না যে এটিই সর্বোত্তম প্রকল্প। কারণ আমাদের অনুমান কখনোই সম্পূর্ণ নির্ভুল হয় না; আমরা বড়জোর এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে, প্রকল্পটি হয়তো আদর্শ একটি সর্বোত্তম প্রকল্পের খুব কাছাকাছি রয়েছে।

সমস্ত ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পকে প্রতিনিধিত্বকারী একটি একক দৈব পরিমাণের এই ধারণাটি মূলত গাণিতিক মডেলের একটি তাত্ত্বিক পরিণতি। এটি ধরে নেয় যে, সব ঘটনার সম্ভাবনা আগে থেকেই নিখুঁতভাবে সংজ্ঞায়িত করা আছে, যেন সম্ভাবনার মানগুলো অসীম সংখ্যক দশমিক স্থান পর্যন্ত আগে থেকেই লেখা রয়েছে। বাস্তবে সম্ভাবনার এমন নিখুঁত পরিমাপ অসম্ভব; কারণ কোনো ঘটনাকেই হুবহু পুনরাবৃত্তি করা যায় না। এ কারণেই অন্যান্য সব প্রকল্পকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, এমন একক কোনো ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পের বাস্তবে অস্তিত্ব নেই। এর অস্তিত্ব কেবল গাণিতিক খাতেই সীমাবদ্ধ।

গাণিতিকভাবে সীমাবদ্ধ হলেও, সমস্ত ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পকে প্রতিনিধিত্বকারী এই অনন্য দৈব পরিমাণটির একটি বাস্তব তাৎপর্য রয়েছে। এর অর্থ হলো, যেসব অর্থনৈতিক প্রতিনিধি ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্পগুলো পরিচালনা করেন, তারা সবাই মূলত একই নৌকার যাত্রী। তারা হয় সবাই একসাথে জেতেন নতুবা একসাথে হারেন। তবে একজনের ক্ষতি দিয়ে কখনোই অন্যের লাভ পূরণ করা যায় না; কারণ এমনটা হলে ঝুঁকিটি হ্রাসযোগ্য বা কমানো সম্ভব হতো।

যখন আমরা হ্রাস-অযোগ্য ঝুঁকির বিপরীতে বাজি ধরি, তখন মূলত আমরা তাদের সবার সফলতার ওপরই বাজি ধরি, যারা একই ধরনের হ্রাস-অযোগ্য ঝুঁকির বিরুদ্ধে অবস্থান নিয়েছে। তাই আমরা সবাই ঐক্যবদ্ধ, আমরা একে অপরের বিরুদ্ধে খেলছি না। যদি আমরা বিশ্বাস করি যে আমরা সবাই একত্রে সফল হব, তবে আমরা বাজি ধরতে উৎসাহিত হই। আর যদি মনে হয় যে আমরা সবাই একসাথে হারব, তবে আমরা নিরুৎসাহিত হই। তাই ঝুঁকিপূর্ণ সর্বোত্তম প্রকল্প পরিচালনার পেছনে মূল চালিকাশক্তি হলো ঝুঁকি গ্রহণকারীদের মধ্যকার পারস্পরিক সংহতি এবং তাদের ইতিবাচক প্রত্যাশা।

একটি হ্রাস-অযোগ্য ঝুঁকির বিপরীতে বাজি ধরার মাধ্যমে আমরা যেমন প্রত্যাশিত সম্মিলিত সফলতার মুনাফার একটি অংশের অধিকার অর্জন করি, ঠিক তেমনি সম্মিলিত ব্যর্থতার ক্ষেত্রে লোকসানের একটি অংশ ভাগ করে নেওয়ার প্রতিশ্রুতিও দিয়ে থাকি।

যারা এই ধরনের ঝুঁকি গ্রহণ করেন, তারা মূলত এমন ব্যক্তি যাদের বিনিয়োগ করার মতো সামর্থ্য রয়েছে, অর্থাৎ তারা পুঁজিপতি। তাদের বিনিয়োগকে সর্বোত্তম পর্যায়ে নিয়ে যাওয়ার জন্য সবার ঐক্যবদ্ধ থাকাতেই তাদের মূল স্বার্থ নিহিত। আর এ কারণেই সমাজতান্ত্রিক বা কমিউনিস্টদের মতো সমষ্টিগত চিন্তাধারা পোষণ করাও তাদের জন্য লাভজনক। সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে:

উপপাদ্য: একজন ভালো বিনিয়োগকারী বা লগ্নিকারী হতে হলে, আমাদের কমিউনিস্টদের মতো সমষ্টিগত চিন্তা করতে হবে।

ঝুঁকি ও সময়

ঝুঁকির ওপর সময়ের বেশ কিছু প্রভাব থাকতে পারে:

• সময় ঝুঁকি বাড়াতে পারে, কারণ মুনাফা অর্জন একটি সময়সাপেক্ষ ব্যাপার। যত বেশি সময় অতিবাহিত হয়, মুনাফা যেমন বাড়তে পারে, তেমনি এর বিস্তৃতি বা ভ্যারিয়েশনও বাড়ে, যার ফলে ঝুঁকিও বৃদ্ধি পায়।
• বর্তমানের ঝুঁকি ভবিষ্যতের ঝুঁকি দিয়ে প্রশমিত করা সম্ভব। তাই সময়ের অতিবাহিত হওয়া আন্তঃসময়িক ক্ষতিপূরণের (intertemporal compensation) মাধ্যমে ঝুঁকি কমায়: অর্থাৎ, ভালো বছরগুলোর আয় দিয়ে খারাপ বছরগুলোর ক্ষতি সহজেই পুষিয়ে নেওয়া যায়।
• সময়ের দিক থেকে একটি প্রকল্প যত দীর্ঘমেয়াদী হয়, এর চূড়ান্ত রাজস্ব অনুমান করা তত বেশি কঠিন হয়ে পড়ে। তাই প্রকল্পটি যত বেশি দূরের সময়ের জন্য নেওয়া হয়, এর রাজস্ব তত বেশি ঝুঁকিপূর্ণ হয়। তবে সময় অতিবাহিত হওয়ার সাথে সাথে চূড়ান্ত রাজস্ব অর্জনের এই দূরত্বও কমতে থাকে। ফলে সময়ের সাথে সাথে অনিশ্চয়তা কমে আসে এবং ঝুঁকিও হ্রাস পায়।

সঠিকভাবে ঝুঁকি মূল্যায়নের জন্য সমস্ত সহজলভ্য তথ্য বিবেচনায় নিয়ে আমাদের সম্ভাব্য ফলাফলগুলো অনুমান করতে হবে।

কোনো প্রকল্পকে তখনই অপেক্ষাকৃত সর্বোত্তম বলা হয়, যখন এটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার সাপেক্ষে সর্বোত্তম হিসেবে কাজ করে।

একটি পোর্টফোলিওকে তখনই গতিশীলভাবে পরিচালিত বা ডায়নামিক বলা হয়, যখন সময়ের সাথে সাথে এর গঠনগত পরিবর্তন করা হয়।

অন্যদিকে, পোর্টফোলিওর গঠন অপরিবর্তিত থাকলে তাকে স্থির বা স্ট্যাটিক পোর্টফোলিও বলা হয়।

প্রতিনিয়তই নতুন নতুন তথ্য আসতে থাকে, যা আমাদের সম্ভাব্যতার অনুমানকে আরও নির্ভুল করতে এবং অনিশ্চয়তা কমাতে সাহায্য করে। তাই অপেক্ষাকৃত সর্বোত্তম প্রকল্পগুলোও সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হতে পারে। যত সময় পার হয়, সর্বোত্তম প্রকল্পগুলো সম্পর্কে আমাদের মূল্যায়ন তত নিখুঁত হয় এবং আমরা ঝুঁকি কমাতেও তত বেশি সক্ষম হই। যদি কোনো প্রকল্পকে আমরা গতিশীলভাবে পরিচালনা না করি, তবে ঝুঁকি কমানোর এই সুযোগগুলো হাতছাড়া হয় এবং এর ফলে বড় ধরনের আর্থিক ক্ষতির মুখে পড়ার ঝুঁকি তৈরি হয়। তাই প্রতিযোগিতামূলক বাজারে অপেক্ষাকৃত সর্বোত্তম অবস্থানে থাকার জন্য একটি পোর্টফোলিও বা প্রকল্পকে অবশ্যই গতিশীলভাবে পরিচালনা করা উচিত।