এই কোয়ান্টাম জগৎ/গুরুতর রোগ/বোর

বোর

১৯১৩ সালে নিলস বোর প্রস্তাব করেন যে, কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি পারমাণবিক ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ $L$ কোয়ান্টায়িত থাকে: এর "অনুমোদিত" মানগুলো $\hslash$-এর পূর্ণসংখ্যার গুণিতক:

$L=n\hslash$ যেখানে $n=1,2,3,\dots$

অন্য কোনো রাশির পরিবর্তে কৌণিক ভরবেগকে কেন কোয়ান্টায়িত করা হলো?

• একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের বিকিরণ শক্তি প্লাঙ্কের ধ্রুবকের গুণিতক আকারে কোয়ান্টায়িত থাকে।
• প্লাঙ্কের ধ্রুবককে কৌণিক ভরবেগের সমতুল্য এককে পরিমাপ করা হয়।

বোরের এই প্রস্তাবনা কেবল পরমাণুর স্থিতিশীলতাই ব্যাখ্যা করেনি, বরং পরমাণু দ্বারা তড়িৎচৌম্বকীয় বিকিরণের নির্গমন এবং শোষণ কেন বিচ্ছিন্ন প্রকৃতির হয়, তাও ব্যাখ্যা করেছে। এর পাশাপাশি এটি তাকে পারমাণবিক হাইড্রোজেনের বর্ণালি—অর্থাৎ এটি যে কম্পাঙ্কগুলোতে আলো (দৃশ্যমানের পাশাপাশি অবলোহিত এবং অতিবেগুনি) নির্গত ও শোষণ করতে সক্ষম—তা অত্যন্ত নিখুঁতভাবে গণনা করতে সক্ষম করেছিল। নিচের ছবিটিতে পারমাণবিক হাইড্রোজেনের দৃশ্যমান নির্গমন বর্ণালি দেখানো হয়েছে, যেখানে বামার সিরিজের চারটি রেখা রয়েছে।

পারমাণবিক হাইড্রোজেনের দৃশ্যমান নির্গমন বর্ণালি, যেখানে বামার সিরিজের চারটি রেখা রয়েছে।

তার কোয়ান্টায়ন প্রস্তাবনাটি ছাড়া, এই পর্যায়ে বোরের যুক্তিতর্ক পুরোপুরি চিরায়ত ছিল। বোরের সাথে আমরাও ধরে নিই যে ইলেকট্রনের কক্ষপথটি $r.$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত। তাহলে ইলেকট্রনের দ্রুতি হবে $v=rd\beta /dt,$ এবং এর ত্বরণের মান হবে $a=dv/dt=vd\beta /dt.$

$d\beta /dt$ বাদ দিলে আমরা পাই $a=v^2/r.$ এককের সিজিএস পদ্ধতিতে, কুলম্ব বলের মান হলো কেবল $F=e^2/r^2,$ যেখানে $e$ হলো ইলেকট্রন এবং প্রোটন উভয়ের আধানের মান। নিউটনের $F=ma$ সূত্রের মাধ্যমে শেষ দুটি সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় $m_e{v}^2=e^2/r,$ যেখানে $m_e$ হলো ইলেকট্রনের ভর। আমরা যদি প্রোটনটিকে স্থির ধরে নিই, তবে ইলেকট্রনের গতিশক্তির জন্য আমরা পাই $T=m_e{v}^2/2=e^2/2r$।

অসীম দূরত্বে ইলেকট্রনের বিভব শক্তি যদি ০ (শূন্য) ধরা হয়, তবে প্রোটন থেকে $r$ দূরত্বে এর বিভব শক্তি $V$ হবে একে $r$ থেকে অসীম দূরত্বে নিয়ে যেতে প্রয়োজনীয় কাজের ঋণাত্মক মান,

$V=-{\int }_r^{\mathrm{\infty }}F(r^{\prime })d{r}^{\prime }=-{\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{e^2}{(r^{\prime }{)}^2}d{r}^{\prime }=+{\left[\frac{e^2}{r^{\prime }}\right]}_r^{\mathrm{\infty }}=0-\frac{e^2}{r}.$

সুতরাং, ইলেকট্রনের মোট শক্তি হলো

$E=T+V=e^2/2r-e^2/r=-e^2/2r.$

আমরা একে ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ $L=m_{e}vr.$-এর সাপেক্ষে প্রকাশ করতে চাই। $m_e{v}^2=e^2/r,$ এবং ফলস্বরূপ $r{m}_e^2{v}^2=m_e{e}^2,$ বিষয়টি মনে রেখে, লব $e^2$-কে $m_e{e}^2$ দ্বারা এবং হর $2r$-কে $r{m}_e^2{v}^2,$ দ্বারা গুণ করে আমরা পাই

$E=-\frac{e^2}{2r}=-\frac{m_e{e}^4}{2m_e^2{v}^2{r}^2}=-\frac{m_e{e}^4}{2L^2}.$

এবার আসে চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সাথে বোরের বিচ্ছেদের বিষয়টি: তিনি কেবল $L$-এর স্থলে $n\hslash$ বসিয়ে দেন। কৌণিক ভরবেগের এই "অনুমোদিত" মানগুলো পরমাণুর শক্তির জন্য অনুমোদিত মানগুলোর একটি ধারাকে সংজ্ঞায়িত করে:

$E_n=-\frac{1}{n^2}\left(\frac{m_e{e}^4}{2{\hslash }^2}\right),n=1,2,3,\dots$

ফলস্বরূপ, পরমাণুটি কেবল নিচের পার্থক্যগুলোর পরম মানের সমান পরিমাণ শক্তিই নির্গত বা শোষণ করতে পারে

$\mathrm{\Delta }{E}_{nm}=E_n-E_m=(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})\text{Ry},$

এক রিডবার্গ (Ry) হলো $m_e{e}^4/2{\hslash }^2=13.6056923(12)\text{eV.}$-এর সমান। এটি পারমাণবিক হাইড্রোজেনের আয়নীকরণ শক্তি $\mathrm{\Delta }{E}_{1\mathrm{\infty }}$-ও বটে — অর্থাৎ প্রোটন থেকে ইলেকট্রনটিকে সম্পূর্ণভাবে সরিয়ে নিতে প্রয়োজনীয় শক্তি। বোরের ভবিষ্যদ্বাণী করা মানটি পরিমাপকৃত মানের সাথে চমৎকারভাবে মিলে গিয়েছিল।

পরমাণুর শক্তির জন্য উপরের দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে এবং $r,$-এর জন্য সমাধান করে, আমরা পাই $r=n^2{\hslash }^2/m_e{e}^2.$ নিম্নতম শক্তিস্তরের (গ্রাউন্ড স্টেট) $(n=1)$ ক্ষেত্রে, এটি হলো হাইড্রোজেন পরমাণুর বোর ব্যাসার্ধ, যা ${\hslash }^2/m_e{e}^2=5.291772108(18)\times 10^{-11}m.$-এর সমান। পরিণত তত্ত্বটিও একই সংখ্যা প্রদান করে, তবে এতে এই দুরত্বকে প্রোটন থেকে সেই সবচেয়ে সম্ভাব্য দূরত্ব হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যেখানে ইলেকট্রনটিকে পাওয়া যেত যদি প্রোটন থেকে এর দূরত্ব পরিমাপ করা হতো।