এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/অনির্দিষ্ট যোগজ

অনির্দিষ্ট যোগজ

আমরা কীভাবে অসীম-সংখ্যক ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল একসঙ্গে যোগ করব? এটি অত্যন্ত প্রাথমিক একটি বিষয় হবে যদি আমরা এমন একটি ফাংশন $F(x)$ সম্পর্কে জানি, যার প্রথম অন্তরক হলো $f(x)$। যদি $f(x)=\frac{dF}{dx}$ হয়, তবে $dF(x)=f(x)dx$ এবং-

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}dF(x)=F(b)-F(a)$

আমাদের যা করতে হবে তা হলো কেবল সেই ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরিমাণ $dF$-এর সমষ্টি নেওয়া, যার দ্বারা $x$-এর মান $a$ থেকে $b$-তে বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে $F(x)$ বৃদ্ধি পায়; আর এটি মূলত $F(b)$ এবং $F(a)$-এর মধ্যকার সাধারণ বিয়োগফল মাত্র।

যে ফাংশন $F(x)$-এর প্রথম অন্তরক হলো $f(x)$, তাকে $f(x)$-এর একটি 'যোগজ' বা 'প্রতি-অন্তরক' বলা হয়। যেহেতু $f(x)$-এর যোগজটি কেবল একটি ধ্রুবক পর্যন্তই নির্ধারিত বা সীমাবদ্ধ থাকে, তাই একে $f(x)$-এর 'অনির্দিষ্ট' যোগজ হিসেবেও অভিহিত করা হয়। লক্ষ্য রাখবেন যে, যেখানেই $f(x)$-এর মান ঋণাত্মক হবে, সেখানে এর লেখচিত্র এবং $x$ অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফলটি ঋণাত্মক হিসেবে গণ্য হবে।

যদি আমরা 'যোজ্য' $f(x)$-এর কোনো প্রতি-অন্তরক না জানি, তবে আমরা কীভাবে $I={\int }_a^{b}dxf(x)$ যোগজটি গণনা করব? সাধারণত আমরা এর জন্য একটি যোগজ সারণী দেখে নিই। এটি নিজে নিজে করার জন্য বেশ ভালো দক্ষতার প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, চলুন আমরা নিচের গাউসীয় যোগজ সমাধান করি-

$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}$

এই যোগজটির জন্য কেউ একজন নিচে বর্ণিত বিশেষ কৌশলটি আবিষ্কার করেছেন। (সমস্যা হলো এই যে, ভিন্ন ভিন্ন যোগজের জন্য সাধারণত ভিন্ন ভিন্ন কৌশলের প্রয়োজন হয়।) প্রথমে $I$-এর বর্গ দিয়ে শুরু করা যাক:

$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dy{e}^{-y^2/2}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dxdy{e}^{-(x^2+y^2)/2}$

এটি হলো $x-y$ সমতলের ওপর একটি যোগজ বা ইন্টিগ্রেশন। এই সমতলটিকে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্র $dxdy$-তে বিভক্ত করার পরিবর্তে, আমরা এটিকে $r$ ব্যাসার্ধ এবং $dr$ ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রস্থ বিশিষ্ট কতগুলো সমকেন্দ্রিক বলয় বা বৃত্তাকার রিংয়ে বিভক্ত করতে পারি। যেহেতু এই ধরণের একটি বলয়ের ক্ষেত্রফল হলো $2\pi rdr$, তাই আমরা লিখতে পারি-

$I^2=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}drr{e}^{-r^2/2}$

এখন এখানে কেবল একটিমাত্র যোগজীকরণ করা বাকি রইল। এরপর আমরা এই সূত্রটি ব্যবহার করি যে, $\frac{d{r}^2}{dr}=2r$, যার অর্থ হলো $drr=d(r^2/2)$, এবং আমরা একটি নতুন চলক $w=r^2/2$ প্রবর্তন করি:

$I^2=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}d\left(r^2/2\right)e^{-r^2/2}=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}dw{e}^{-w}$

যেহেতু আমরা জানি যে $e^{-w}$-এর প্রতি-অন্তরক হলো $-e^{-w}$, তাই আমরা এটিও জানি যে-

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}dw{e}^{-w}=(-e^{-\mathrm{\infty }})-(-e^{-0})=0+1=1$

অতএব, $I^2=2\pi$ এবং-

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}=\sqrt{2\pi }$

বিশ্বাস করুন আর নাই করুন, তাত্ত্বিক পদার্থবিদ্যার সাহিত্যের একটি বড় অংশ জুড়ে রয়েছে এই মৌলিক 'গাউসীয়' যোগজের বিভিন্ন রূপভেদ এবং এর বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও প্রয়োগ।

এর একটি রূপভেদ বা ভ্যারিয়েশন পাওয়া যায় $x$-এর পরিবর্তে $\sqrt{a}x$ প্রতিস্থাপন করার মাধ্যমে:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-a{x}^2/2}=\sqrt{2\pi /a}$

আরেকটি রূপভেদ পাওয়া যায় এই সমীকরণের উভয় পক্ষকে $a$-এর ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করে এবং $a$-এর সাপেক্ষে তাদের অন্তরীকরণ করার মাধ্যমে। যার ফলাফল হলো-

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-a{x}^2/2}{x}^2=\sqrt{2\pi /a^3}$