এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/অনুশীলনী

এই পাতার উদ্দেশ্য হলো কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলো থেকে মাঝে মাঝে উদ্ভূত হওয়া বিভ্রান্তিকর গণিতগুলো সমাধানের কিছু কৌশল দেখানো। এটি আপনার বাড়ির কাজের উত্তর দেবে না, তবে আপনাকে আটকে থাকা অবস্থা থেকে মুক্ত হতে সাহায্য করতে পারে।

প্রমিতকরণ

যখন কোনো প্রশ্নে একটি তরঙ্গ ফাংশনকে প্রমিত করতে বলা হয়, তখন এর অর্থ হলো এমন কোনো সহগের মান নির্ধারণ করা যেন 

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx=1$

উদাহরণস্বরূপ, ধরি একটি ফাংশন হলো 

$\mathrm{\Psi }(x,t)=A\beta (x,t)$

A-এর মান নির্ণয় করার জন্য আপনাকে প্রথমেই ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$-এর পরমমান বের করতে হবে। যেহেতু তরঙ্গ ফাংশনগুলোতে প্রায়শই জটিল অংশ থাকে, তাই তরঙ্গ ফাংশনটিকে কেবল বর্গ করাই যথেষ্ট নয়। এর পরিবর্তে আপনাকে অবশ্যই একে এর জটিল অনুবন্ধী দ্বারা গুণ করতে হবে। কোনো সংখ্যার জটিল অনুবন্ধী কীভাবে নির্ণয় করতে হয় তা জানতে জটিল সংখ্যা পাতাটি দেখুন।

${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2=A^2\beta (x,t)\beta (x,t{)}^{\star }$

A-এর মান বের করার জন্য পুনর্বিন্যস্ত করে পাই, 

$A=1/\sqrt{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\beta (x,t)\beta (x,t{)}^{\star }dx}$

লক্ষ করুন যে, যেহেতু যোগজীকরণের সীমা অসীম, তাই x-এর মান অসীম বা ঋণাত্মক অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$-এর মান অবশ্যই শূন্যের দিকে অগ্রসর হতে হবে। অন্যথায়, কণাটির যেকোনো স্থানে থাকার সম্ভাব্যতা 1-এর চেয়ে বেশি হয়ে যাবে এবং ফাংশনটি প্রমিতকরণযোগ্য হবে না। কেবলমাত্র কয়েকটি ক্ষেত্রেই এই শর্তগুলো পূরণ হয়।

গাউসিয়ান নিয়ে কাজ করা

সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে একটি হলো এমন একটি ফাংশন যেখানে ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$ রাশিটি $A^2{e}^{-\alpha x^2}$ আকারের হয়। এক্ষেত্রে আপনি শেষ পর্যন্ত একটি সমাকলন বা ইন্টিগ্রাল পাবেন:

$A^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx=1$

কিন্তু এর অর্থ হলো $\int e^{x^2}dx$-কে যোগজীকরণ করা, যা এমন একটি ফাংশন যাকে সমাকলন করা অসম্ভব। ম্যাথমেটিকা এবং মেপল-এ একে সমাকলন করলে আপনি বেশ কিছু জটিল ফাংশন পাবেন যা নিয়ে কাজ করা সহজ নয়। একে $\int e^{2x}dx$-এ রূপান্তর করার চেষ্টা করা এগিয়ে যাওয়ার সঠিক পদ্ধতি নয়, মনে রাখবেন যে $\int e^{x^2}$ এবং $\int (e^x{)}^2$-এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছে।

তবে, যদিও যোগজীকরণের সীমাগুলো অসীম এবং ঋণাত্মক অসীমে অবস্থিত, তবুও ইন্টিগ্রালটি নির্দিষ্ট এবং এর একটি সমাধান রয়েছে। 
একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন
$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx$।
  ফাংশনটিকে বর্গ করুন।
$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx\ast {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx$
একটি ইন্টিগ্রালে চলক পরিবর্তন করে অর্থাৎ $x=y$ বসিয়ে পাই:
$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx\ast {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha y^2}dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha (x^2+y^2)}dxdy$
পোলার স্থানাঙ্কে আরেকটি চলক পরিবর্তন করুন (পোলার স্থানাঙ্কের পরিচিতি জানতে ক্যালকুলাস উইকিবই দেখুন)।
$x=r\cos (\theta )$, $y=r\sin (\theta )$, $r^2=x^2+y^2$
$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-\alpha r^2}drd\theta$
যা যোগজীকরণের জন্য তুলনামূলক অনেক সহজ একটি রূপ।

কোয়ান্টাম অপারেটর

সাধারণ কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলোতে সর্বাধিক ব্যবহৃত পাঁচটি কোয়ান্টাম অপারেটর হলো:
x অপারেটর: $\hat{x}=x$
$x^2$ অপারেটর: $\widehat{x^2}=x^2$
ভরবেগ অপারেটর: $\hat{p}=\hslash /i\mathrm{\nabla }$
ভরবেগের বর্গের অপারেটর: $\widehat{p^2}=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2$
হ্যামিল্টনিয়ান অপারেটর: $\hat{H}=-{\hslash }^2/2m{\mathrm{\nabla }}^2+V$
কোনো তরঙ্গ ফাংশনের ওপর এই অপারেটরগুলো ব্যবহার করার জন্য, এদেরকে সমাকলনের মাঝে স্থাপন করুন। উদাহরণস্বরূপ, x-এর গড় মান (যা x-এর প্রত্যাশিত মান বা x-এর প্রথম ভ্রামক হিসেবেও পরিচিত) নির্ণয় করতে, নিচের সমাকলনটি নিন: $<x>={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Psi }\hat{x}{\mathrm{\Psi }}^{\star }dx$

জোড় ও বিজোড় ফাংশন

যদি কোনো তরঙ্গ ফাংশন প্রতিসম হয় এবং মূল বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত থাকে, তবে এটি একটি জোড় ফাংশন (f(x)=f(-x))। অতএব, x-এর প্রত্যাশিত মান অবশ্যই 0-তে পেতে হবে, কারণ এর -x অঞ্চলে থাকার সম্ভাব্যতা এবং x অঞ্চলে থাকার সম্ভাব্যতা সমান।
এর একটি আরও সুনির্দিষ্ট প্রমাণ নিচে দেওয়া হলো:
ধরি, $y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$ হলো জোড়। y(x) = x হলো বিজোড় (f(-x)=-f(x))।
তাহলে   
$y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast x$ হলো একটি বিজোড় ফাংশন (জোড়*বিজোড় = বিজোড়)।
তাহলে
${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx$
যেহেতু $y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast x$ একটি বিজোড় ফাংশন,
${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx$
সুতরাং
${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=0$
আমরা জোড় ও বিজোড় ফাংশনের ধর্মগুলোকে আমাদের সুবিধার্থে ব্যবহার করতে পারি, এবং পর্যবেক্ষণের মাধ্যমেই <x>-এর গড় মান নির্ণয় করতে পারি।

প্রয়োজনীয় সমাকলন

কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে এমন অনেক সমাকলন রয়েছে যা বারবার সমাধান করতে হয়, এবং এই সাধারণ সমাধানগুলো আপনাকে সেগুলো সমাধানে সাহায্য করতে পারে।

$\int x\sin (ax)dx=(1/a^2)\sin (ax)-(x/a)\cos (ax)$
$\int x\cos (ax)dx=(1/a^2)\cos (ax)-(x/a)\sin (ax)$
${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x/a}dx=n!a^{n+1}$
${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n}{e}^{-x^2/a^2}dx=\sqrt{\pi }\frac{(2n)!}{n!}(\frac{a}{2}{)}^{2n+1}$
${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n+1}{e}^{-x^2/a^2}dx=\sqrt{\pi }{a}^{2n+2}$

আংশিক সমাকলন পদ্ধতিও অনেক উপকারী:

$\int u\frac{dv}{dt}dt=uv-\int v\frac{du}{dt}dt$
প্রত্যাশিত মান সম্পর্কিত প্রশ্নগুলোতে প্রায়শই আপনাকে প্রত্যাশিত মান এবং প্রত্যাশিত মানের বর্গ নির্ণয় করতে বলা হয়, তাই আংশিক সমাকলন ব্যবহারের অর্থ হলো আপনি সাধারণত প্রত্যাশিত মানের বর্গের জন্য সমাকলনের একটি অংশ আগেই সমাধান করে ফেলেছেন।

অনিশ্চয়তা

যদিও প্রত্যাশিত মান বের করার সাথে জড়িত গণিতগুলো বেশ জটিল এবং এতে ভুল করার অনেক সম্ভাবনা থাকে, তবে কোয়ান্টাম তত্ত্বে এর নিজস্ব একটি ত্রুটি যাচাইকরণ পদ্ধতি রয়েছে — হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি।

${\sigma }_x{\sigma }_p\ge \frac{\hslash }{2}$

${\sigma }_x$ হলো অবস্থানের পরিমিত ব্যবধান এবং ${\sigma }_p$ হলো ভরবেগের পরিমিত ব্যবধান। চিন্তা করবেন না, পরিসংখ্যানের মতো পরিমিত ব্যবধান বের করার জন্য আমাদের একগাদা ক্লান্তিকর হিসাব করতে হবে না। এর পরিবর্তে, নিচের সম্পর্কটি ব্যবহার করুন:

${\sigma }_x^2=<x^2>-<x{>}^2$

যদি আপনি দেখেন যে আপনার উত্তরগুলো অনিশ্চয়তা নীতিকে সিদ্ধ করছে না, তবে বুঝতে হবে হয় আপনি কোনো ভুল করেছেন, নতুবা আপনাকে এমন একটি প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে যার কোনো ভৌত ভিত্তি নেই।