এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/আপেক্ষিকতা/লরেন্ৎজ

$K>0$-এর বিপক্ষের যুক্তি

একটি কাল্পনিক জগত যেখানে $K>0$, সেখানে আমরা $k\equiv 1/\sqrt{K}$-কে সংজ্ঞায়িত করতে পারি (এটি মাত্রাবিশিষ্ট বেগের, একটি সর্বজনীন ধ্রুবক)। এর মাধ্যমে আমরা $u=v+w/(1-Kvw)$-কে নিচের রূপে প্রকাশ করতে পারি:

$u=\frac{v+w}{1-vw/k^2}.$

যদি আমরা $v=w=k/2,$ বসাই, তবে গ্যালিলীয় $u=v+w=k$-এর পরিবর্তে আমরা পাই $u=\frac{4}{3}k>k.$ আরো বিষম ক্ষেত্রে, যদি আমরা $v=w=k,$ বসাই, তবে আমরা $u=\mathrm{\infty }$ পাই। যদি কোনো বস্তু $O$ ${ℱ}_2,$-এর সাপেক্ষে $k$ দ্রুতিতে ভ্রমণ করে, এবং যদি ${ℱ}_2$ ${ℱ}_1$-এর সাপেক্ষে (একই দিকে) $k$ দ্রুতিতে ভ্রমণ করে, তবে $O$ বস্তুটি ${ℱ}_1$-এর সাপেক্ষে অসীম দ্রুতিতে ভ্রমণ করবে! আর যদি $O$ বস্তুটি ${ℱ}_2$-এর সাপেক্ষে $2k$ দ্রুতিতে ভ্রমণ করে এবং ${ℱ}_2$, ${ℱ}_1,$-এর সাপেক্ষে $2k$ দ্রুতিতে ভ্রমণ করে, তবে ${ℱ}_1,$-এর সাপেক্ষে $O$-এর দ্রুতি ঋণাত্মক হবে: $u=-\frac{4}{3}k.$ 

যদি আমরা এমন একক ব্যবহার করি যেখানে $K=k=1,$ তবে একটি অতি ক্ষুদ্র পথখণ্ডের সাথে যুক্ত অপরিবর্তনীয় প্রকৃত সময় (proper time) ঐ খণ্ডটির জড়তা উপাদানগুলোর সাথে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্কিত থাকে:

$d{s}^2=d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2.$

এটি হলো ৩-স্কেলার $d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,$-এর ৪-মাত্রিক রূপ, যা শূন্যস্থানে ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে। সুতরাং যদি $K$ ধনাত্মক হয়, তবে জড় কাঠামোসমূহের মধ্যবর্তী রূপান্তরগুলো হবে স্থানকালে এক ধরনের ঘূর্ণন। আমি ধারণা করছি, আপনি এখন বুঝতে পারছেন কেন এই কাল্পনিক জগতে দুটি ধনাত্মক বেগের সমন্বয়ে একটি ঋণাত্মক বেগ তৈরি হতে পারে।

আসুন আমরা ধরে নিই যে $x$ এবং $t$ অক্ষগুলোর সাপেক্ষে $x^{\prime }$ এবং $t^{\prime }$ অক্ষগুলো ঘোরানো অবস্থায় আছে। এই অনুমানের ভিত্তিতে সংযোজন উপপাদ্য ($k=1$-এর জন্য) প্রতিপাদন করে আমরা এই সিদ্ধান্তটি নিশ্চিত করি।

বিন্দুযুক্ত রেখা অনুসরণকারী একটি বস্তু $O$-এর বেগ ${ℱ}^{\prime },$-এর সাপেক্ষে হলো $w=\cot (\alpha +ta)$। $ℱ$-এর সাপেক্ষে ${ℱ}^{\prime }$-এর বেগ হলো $v=\tan \alpha ,$ এবং $ℱ$-এর সাপেক্ষে $O$-এর বেগ হলো $u=\cot \beta .$ ত্রিকোণমিতিক সম্পর্কটি ব্যবহার করে পাই:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta },$

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে, $\frac{1}{w}=\frac{v+1/u}{1-v/u}.$ $u,$-এর জন্য সমাধান করে আমরা পাই $u=\frac{v+w}{1-vw}.$

আমরা কীভাবে এই আ প্রাইয়োরি (a priori) সম্ভাবনাটি বাতিল করতে পারি যে $K>0$? বইটির মূল অংশে যেমন দেখানো হয়েছে, পদার্থের স্থিতিশীলতা—আরো সুনির্দিষ্টভাবে বললে, এমন স্থিতিশীল বস্তুর অস্তিত্ব যাদের (i) স্থানিক বিস্তৃতি আছে (তারা স্থান "দখল" করে) এবং (ii) এমন সসীম সংখ্যক বস্তু দ্বারা গঠিত যাদের কোনো স্থানিক বিস্তৃতি নেই (তারা কোনো স্থান "দখল" করে না)—নির্ভর করে এমন আপেক্ষিক অবস্থানের অস্তিত্বের ওপর, যা (a) কমবেশি অস্পষ্ট এবং (b) সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়। এ ধরনের আপেক্ষিক অবস্থানগুলোকে সম্ভাব্যতার বিন্যাস দ্বারা বর্ণনা করা হয় যা (a) স্থানে অসমসত্ব এবং (b) সময়ে সমসত্ব। সুতরাং তাদের বস্তুনিষ্ঠ অস্তিত্বের জন্য স্থানকালের সময়গত মাত্রা এবং এর স্থানিক মাত্রাগুলোর মধ্যে একটি বস্তুনিষ্ঠ পার্থক্য থাকা প্রয়োজন। এটি $K>0.$ হওয়ার সম্ভাবনাকে বাতিল করে দেয়।

কীভাবে? যদি $K<0,$ হয় এবং আমরা প্রাকৃতিক একক ব্যবহার করি, যেখানে $c=1,$ তবে আমরা পাই:

$d{s}^2=+d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2.$

পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে, $dt$-এর সামনের ধনাত্মক চিহ্ন এবং $dx,$ $dy,$ ও $dz$-এর সামনের ঋণাত্মক চিহ্নগুলোর মধ্যকার পার্থক্যটিই হলো স্থানকালের সময়ের মাত্রা এবং স্থানিক মাত্রাগুলোর মধ্যে একমাত্র বস্তুনিষ্ঠ পার্থক্য। যদি $K$ ধনাত্মক হতো, তবে এমনকি এই পার্থক্যটিও থাকত না।

শূন্য K-এর বিপক্ষের যুক্তি

আর $K=0$ হওয়ার সম্ভাবনার বিরুদ্ধে কী যুক্তি রয়েছে?

একটি মুক্ত এবং স্থিতিশীল কণার প্রপাগেটরের (propagator) কথা স্মরণ করুন:

$⟨B|A⟩=\int 𝒟𝒞e^{-ibs[𝒞]}.$

যদি $K$ বিলুপ্ত হয়ে যেত, তবে আমরা পেতাম $d{s}^2=d{t}^2.$ সেক্ষেত্রে জড় সময় এবং প্রকৃত সময়ের মধ্যে কোনো পার্থক্য থাকত না। তখন $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত প্রতিটি স্থানকাল পথ প্রপাগেটর $⟨B|A⟩,$-এ সমান বিস্তার $e^{-ib(t_B-t_A)}$ প্রদান করত, যার ফলে প্রপাগেটরটি চরমভাবে অপসারী হয়ে পড়ত। আরও খারাপ বিষয় হলো, $⟨B|A⟩$ $A$ এবং $B.$-এর মধ্যকার দূরত্বের ওপর নির্ভরশীল হতো না। সুসংজ্ঞায়িত ও সসীম সম্ভাব্যতা পাওয়ার জন্য অবশ্যই বাতিলকরণ ("ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার") ঘটতে হবে, যা $K=0.$ হওয়ার সম্ভাবনাকে নাকচ করে দেয়।

প্রকৃত লরেঞ্জ রূপান্তর

অতএব, বাস্তব জগতে লরেঞ্জ রূপান্তরগুলো নিচের রূপ ধারণ করে:

$t^{\prime }=\frac{t-wx/c^2}{\sqrt{1-w^2/c^2}},x^{\prime }=\frac{x-wt}{\sqrt{1-w^2/c^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.$

আসুন প্রাকৃতিক একক ($c=1$) ব্যবহার করে এদের চিত্রভিত্তিক বিশ্লেষণ করি। $t^{\prime }=0,$ বসালে আমরা পাই $t=wx.$ এটি আমাদের বলে যে, আনড্যাশড কাঠামোর সাপেক্ষে $x^{\prime }$ অক্ষের ঢাল হলো $w=\tan \alpha .$ $x^{\prime }=0,$ বসালে আমরা পাই $t=x/w.$ এটি আমাদের বলে যে, $t^{\prime }$ অক্ষের ঢাল হলো $1/w.$ এইভাবে ড্যাশযুক্ত অক্ষগুলো বিপরীত দিকে একই কোণে ঘোরে; যদি $t$ অক্ষের সাপেক্ষে $t^{\prime }$ অক্ষটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে, তবে $x$ অক্ষের সাপেক্ষে $x^{\prime }$ অক্ষটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরবে।

যদি আমরা গতিশীল ঘড়িগুলোর সমলয়করণের বিষয়ে চিন্তা করি, তবে আমরা একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাই। ধরে নিই তিনটি ঘড়ি (১,২,৩) $ℱ.$-এর সাপেক্ষে একই বেগে $w=\tan \alpha$ ভ্রমণ করছে। এদেরকে সমলয় করার জন্য আমাদেরকে একটি ঘড়ি থেকে অন্যটিতে সংকেত পাঠাতে হবে। কী ধরনের সংকেত? যদি আমরা আমাদের সমলয়করণ পদ্ধতিটি ব্যবহৃত ভাষা থেকে স্বাধীন রাখতে চাই (অর্থাৎ নির্দেশতন্ত্র থেকে স্বাধীন), তবে আমাদের অবশ্যই এমন সংকেত ব্যবহার করতে হবে যা অপরিবর্তনীয় বেগ $c.$-তে ভ্রমণ করে।

এটি যেভাবে করা হয় তা নিচে দেওয়া হলো:

ঘড়ি ২ (ঘটনা $A$) থেকে আলোক সংকেত পাঠানো হয় এবং তা ঘড়ি ১ ও ৩ দ্বারা প্রতিফলিত হয় (যথাক্রমে ঘটনা $B$ এবং $C,$)। ঘড়িগুলোর মধ্যকার দূরত্ব এমনভাবে সমন্বয় করা হয় যাতে প্রতিফলিত সংকেতগুলো ঘড়ি ২-এ একই সময়ে পৌঁছায় (ঘটনা $D$)। এটি নিশ্চিত করে যে, ঘড়ি ১ এবং ২-এর মধ্যকার দূরত্ব ঘড়ি ২ এবং ৩-এর মধ্যকার দূরত্বের সমান হবে, তা যেকোনো জড় কাঠামোর সাপেক্ষেই তুলনা করা হোক না কেন। ${ℱ}^{\prime },$-এ, যেখানে ঘড়িগুলো স্থির অবস্থায় থাকে, সেখানে $A$ থেকে আসা সংকেতগুলো প্রথম ও তৃতীয় ঘড়িতে পৌঁছানোর সময় সমান দূরত্ব অতিক্রম করে। যেহেতু তারা একই বেগ $c,$-তে ভ্রমণ করেছে, তাই তারা সমান সময় ধরে ভ্রমণ করেছে। সুতরাং ঘড়িগুলোকে এমনভাবে সিঙ্ক্রোনাইজ করতে হবে যাতে $B$ এবং $C$ একই সময়ে ঘটে। আমরা ঘড়ি ১-এর ওয়ার্ল্ডলাইন-কে $t^{\prime }$ অক্ষ হিসেবে এবং $B$ ও $C$-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখাকে $x^{\prime }$ অক্ষ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। ওপরের চিত্র থেকে খুব সহজেই দেখা যায় যে, তিনটি কোণ $ta$ সমান। এর থেকে এবং $B$ থেকে $D$ পর্যন্ত সংকেতের ঢাল ১ হওয়ার কারণে (যেহেতু $c=1$), দুটি কোণ $\alpha$-এর সমতা প্রমাণিত হয়।

এভাবে সমকালীনতা সেই ভাষার ওপর নির্ভর করে—অর্থাৎ সেই জড় কাঠামোর ওপর—যা আমরা একটি ভৌত অবস্থাকে বর্ণনা করতে ব্যবহার করি। যদি কোনো একটি কাঠামোতে দুটি ঘটনা $E_1,E_2$ একই সময়ে ঘটে, তবে এমন কাঠামোও রয়েছে যেখানে $E_1$ $E_2$-এর পরে ঘটে, আবার এমন কাঠামোও রয়েছে যেখানে $E_1$ $E_2.$-এর আগে ঘটে। 

স্থান ও কাল অক্ষের ওপর একক বিন্দুগুলোকে আমরা কোথায় স্থাপন করব? ${ℱ}^{\prime }$-এর কাল অক্ষের একক বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো $t^{\prime }=1,x^{\prime }=0$ এবং এটি $t^2-x^2=1,$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে, যা আমরা (\ref{ds2})-এর $(t^{\prime }{)}^2-(x^{\prime }{)}^2=t^2-x^2$ রূপ থেকে পাই। $x^{\prime }$ অক্ষের একক বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো $t^{\prime }=0,x^{\prime }=1$ এবং এটি $x^2-t^2=1.$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে। স্থান ও কালের অক্ষগুলোর একক বিন্দুগুলোর সঞ্চারপথ হলো হাইপারবোলা, যা এই সমীকরণগুলো দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: