এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/আপেক্ষিকতা/লরেন্ৎজ রূপান্তর

লরেন্ৎজ রূপান্তর (সাধারণ রূপ)

আমরা একটি জড় কাঠামো ${ℱ}_1$-এর স্থানাঙ্ক $t$ এবং $𝐫=(x,y,z)$-কে অন্য একটি জড় কাঠামো ${ℱ}_2.$-এর স্থানাঙ্ক $t^{\prime }$ এবং ${𝐫}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$-এর সাপেক্ষে প্রকাশ করতে চাই। আমরা ধরে নেব যে এই দুটি কাঠামো নিচের শর্তগুলো পূরণ করে:

1. তাদের স্থানকাল স্থানাঙ্কের মূলবিন্দু মিলে যায় ($t^{\prime }=0,{𝐫}^{\prime }=0$ ঠিক সেই স্থানকাল অবস্থানকেই নির্দেশ করে যা $t=0,𝐫=0$ নির্দেশ করে),
2. তাদের স্থানিক অক্ষগুলো সমান্তরাল, এবং
3. ${ℱ}_2$ কাঠামোটি ${ℱ}_1.$-এর সাপেক্ষে একটি ধ্রুব বেগ $𝐰$-এ চলে।

এই পর্যায়ে আমরা যা জানি তা হলো, ${ℱ}_1$-এ যা কিছুই ধ্রুব বেগে চলবে তা ${ℱ}_2.$-তেও একইভাবে চলবে। এর মানে হলো, $t,𝐫\to t^{\prime },{𝐫}^{\prime }$ রূপান্তরটি ${ℱ}_1$-এর সরলরেখাগুলোকে ${ℱ}_2.$-এর সরলরেখায় ম্যাপ করে। বিশেষ করে, ${ℱ}_1,$-এর স্থানাঙ্ক রেখাগুলো ${ℱ}_2.$-এর সরলরেখায় ম্যাপ হবে। এটি আমাদের জানায় যে ড্যাশযুক্ত স্থানাঙ্কগুলো ড্যাশবিহীন স্থানাঙ্কগুলোর রৈখিক সমাহার,

$t^{\prime }=At+𝐁\cdot 𝐫,{𝐫}^{\prime }=C𝐫+(𝐃\cdot 𝐫)𝐰+t.$

আমরা এও জানি যে ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_2$-এ রূপান্তরটি কেবলমাত্র $𝐰,$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে, তাই $A,$ $𝐁,$ $C,$ এবং $𝐃$ হলো $𝐰.$-এর ফাংশন। আমাদের কাজ হলো এই ফাংশনগুলো খুঁজে বের করা। বাস্তব-মানবিশিষ্ট ফাংশন $A$ এবং $C$ আসলে কেবল $w=|𝐰|={}_{+}\sqrt{𝐰\cdot 𝐰},$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে, তাই $A=a(w)$ এবং $C=c(w).$। কেবলমাত্র $𝐰$-এর ওপর নির্ভরশীল একটি ভেক্টর ফাংশনকে অবশ্যই $𝐰,$-এর সমান্তরাল (বা বিপরীত সমান্তরাল) হতে হবে এবং এর মান $w.$-এর একটি ফাংশন হতে হবে। অতএব আমরা লিখতে পারি $𝐁=b(w)𝐰,$ $𝐃=[d(w)/w^2]𝐰,$ এবং $=e(w)𝐰.$। (একটু পরেই স্পষ্ট হবে কেন $𝐃.$-এর সংজ্ঞায় $w^{-2}$ উৎপাদকটি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।) সুতরাং,

$t^{\prime }=a(w)t+b(w)𝐰\cdot 𝐫,{𝐫}^{\prime }=c(w)𝐫+d(w)\frac{𝐰\cdot 𝐫}{w^2}𝐰+e(w)𝐰t.$

ধরা যাক, $𝐫$ হলো $𝐰t.$-এর সমান। এটি নির্দেশ করে যে ${𝐫}^{\prime }=(c+d+e)𝐰t.$। যেহেতু আমরা ${ℱ}_2,$-এর সাপেক্ষে স্থির একটি বস্তুর গতিপথ পর্যবেক্ষণ করছি, তাই ${𝐫}^{\prime }$ অবশ্যই ধ্রুবক হবে। অতএব,

$c+d+e=0.$

চলুন বিপরীত রূপান্তরটি লিখি। যেহেতু ${ℱ}_1$ ${ℱ}_2,$-এর সাপেক্ষে $-𝐰$ বেগে চলে, তাই এটি হলো

$t=a(w)t^{\prime }-b(w)𝐰\cdot {𝐫}^{\prime },𝐫=c(w){𝐫}^{\prime }+d(w)\frac{𝐰\cdot {𝐫}^{\prime }}{w^2}𝐰-e(w)𝐰t^{\prime }.$

আমাদের হিসাব সহজ করার জন্য, আমরা এখন স্থানিক অক্ষগুলোকে এমনভাবে বেছে নেব যেন $𝐰=(w,0,0).$ হয়। তাহলে ওপরের দুটি (পরস্পর বিপরীত) রূপান্তর সরল হয়ে দাঁড়ায়

$t^{\prime }=at+bwx,x^{\prime }=cx+dx+ewt,y^{\prime }=cy,z^{\prime }=cz,$

$t=a{t}^{\prime }-bw{x}^{\prime },x=c{x}^{\prime }+d{x}^{\prime }-ew{t}^{\prime },y=c{y}^{\prime },z=c{z}^{\prime }.$

প্রথম রূপান্তরটিকে দ্বিতীয়টিতে বসালে, আমরা পাই

$t=a(at+bwx)-bw(cx+dx+ewt)=(a^2-be{w}^2)t+(abw-bcw-bdw)x,$

$x=c(cx+dx+ewt)+d(cx+dx+ewt)-ew(at+bwx)$

     $=(c^2+2cd+d^2-be{w}^2)x+(cew+dew-aew)t,$

$y=c^{2}y,$

$z=c^{2}z.$

এসব সমীকরণের প্রথমটি আমাদের জানায় যে

$a^2-be{w}^2=1$  এবং  $abw-bcw-bdw=0.$

দ্বিতীয়টি আমাদের জানায় যে

$c^2+2cd+d^2-be{w}^2=1$  এবং  $cew+dew-aew=0.$

$abw-bcw-bdw=0$-কে $c+d+e=0$-এর সাথে যুক্ত করে (এবং $w\ne 0$ বিবেচনা করে), আমরা পাই $b(a+e)=0.$

$d,$-কে বাদ দিতে $c+d+e=0$ ব্যবহার করে, আমরা পাই $e^2-be{w}^2=1$ এবং $e(a+e)=0.$

যেহেতু শেষ দুটি সমীকরণের প্রথমটি নির্দেশ করে যে $e\ne 0,$ তাই দ্বিতীয়টি থেকে আমরা বুঝতে পারি যে $e=-a.$

$y=c^{2}y$ আমাদের জানায় যে $c^2=1.$। বস্তুত, $c$-এর মান অবশ্যই ১ হতে হবে, কারণ আমরা ধরে নিয়েছি যে কাঠামো দুটির স্থানিক অক্ষগুলো সমান্তরাল (বিপরীত সমান্তরাল নয়)।

$c=1$ এবং $e=-a,$ বসালে, $c+d+e=0$ থেকে পাওয়া যায় $d=a-1.$। $e^2-be{w}^2=1$-কে $b,$-এর জন্য সমাধান করলে, আমরা $b,c,d,$ এবং $e$-এর জন্য কেবল $a$-নির্ভর রাশি পাই:

$b=\frac{1-a^2}{a{w}^2},c=1,d=a-1,e=-a.$

বেশ উন্নতি হয়েছে!

অবশিষ্ট ফাংশন $a(w),$ বের করার জন্য, আমরা তৃতীয় একটি জড় কাঠামো ${ℱ}_3,$ বিবেচনা করি, যা ${ℱ}_2.$-এর সাপেক্ষে $𝐯=(v,0,0)$ বেগে চলে। ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_2,$-এ রূপান্তরটিকে,

$t^{\prime }=a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x,x^{\prime }=a(w)x-a(w)wt,$

${ℱ}_2$ থেকে ${ℱ}_3,$-এ রূপান্তরের সাথে যুক্ত করে,

$t^{″}=a(v)t^{\prime }+\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}{x}^{\prime },x^{″}=a(v)x^{\prime }-a(v)v{t}^{\prime },$

আমরা ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_3$-এ রূপান্তরটি পাই:

$t^{″}=a(v)[a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x]+\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}[a(w)x-a(w)wt]$

     $=\underset{\star }{\underbrace{[a(v)a(w)-\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}a(w)w]}}t+[\dots ]x,$

$x^{″}=a(v)[a(w)x-a(w)wt]-a(v)v[a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x]$

     $=\underset{\star \star }{\underbrace{[a(v)a(w)-a(v)v\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}]}}x-[\dots ]t.$

${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_3$-এ সরাসরি রূপান্তরের আকার অবশ্যই ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_2$ এবং ${ℱ}_2$ থেকে ${ℱ}_3$-এ রূপান্তরের আকারের মতোই হতে হবে, অর্থাৎ

$t^{″}=\underset{\star }{\underbrace{a(u)}}t+\frac{1-a^2(u)}{a(u)u}x,x^{″}=\underset{\star \star }{\underbrace{a(u)}}x-a(u)ut,$

যেখানে $u$ হলো ${ℱ}_1.$-এর সাপেক্ষে ${ℱ}_3$-এর দ্রুতি। তারকা-চিহ্নিত সহগগুলোর তুলনা করলে $a(u),$-এর জন্য দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়, যেগুলো অবশ্যই সমান হতে হবে:

$a(v)a(w)-\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}a(w)w=a(v)a(w)-a(v)v\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}.$

এর থেকে পাওয়া যায় $[1-a^2(v)]a^2(w)w^2=[1-a^2(w)]a^2(v)v^2,$ এবং এটি আমাদের জানায় যে

$K=\frac{1-a^2(w)}{a^2(w)w^2}=\frac{1-a^2(v)}{a^2(v)v^2}$

হলো একটি সার্বজনীন ধ্রুবক। প্রথম সমতাটিকে $a(w),$-এর জন্য সমাধান করে আমরা পাই

$a(w)=1/\sqrt{1+K{w}^2}.$

এটি আমাদের নিচের রূপান্তরটিকে

$t^{\prime }=at+bwx,x^{\prime }=cx+dx+ewt,y^{\prime }=cy,z^{\prime }=cz,$

এই রূপে সাজানোর সুযোগ করে দেয়

$t^{\prime }=\frac{t+Kwx}{\sqrt{1+K{w}^2}},x^{\prime }=\frac{x-wt}{\sqrt{1+K{w}^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.$

একটু তূর্যধ্বনি হোক! আমরা পাঁচটি অজানা ফাংশনকে একটিমাত্র ধ্রুবকে কমিয়ে আনতে সফল হয়েছি।