এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/আপেক্ষিকতা/৪-ভেক্টর

৪-ভেক্টর

৩-ভেক্টর হলো বাস্তব সংখ্যার এমন ত্রয়ী যা $x,y,z.$ স্থানাঙ্কের মতো ঘূর্ণনের অধীনে রূপান্তরিত হয়। ৪-ভেক্টর হলো বাস্তব সংখ্যার চতুষ্টয় যা লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে $\overrightarrow{x}=(ct,x,y,z).$ স্থানাঙ্কের মতো রূপান্তরিত হয়। 

আপনাদের হয়তো মনে আছে যে, দুটি ৩-ভেক্টরের স্কেলার গুণফল (স্থানিক) স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে; আর এ কারণেই আমরা একে স্কেলার বলে থাকি। একইভাবে, দুটি ৪-ভেক্টর $\overrightarrow{a}=(a_t,𝐚)=(a_0,a_1,a_2,a_3)$ এবং $\overrightarrow{b}=(b_t,𝐛)=(b_0,b_1,b_2,b_3),$-এর স্কেলার গুণফল, যা নিচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=a_0{b}_0-a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3,$

লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে (পাশাপাশি স্থানাঙ্কের মূল বিন্দুর সরণ এবং স্থানিক অক্ষগুলোর ঘূর্ণনের অধীনেও) অপরিবর্তনীয় থাকে। এটি প্রমাণ করার জন্য, আমরা দুটি ৪-ভেক্টরের যোগফল $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ বিবেচনা করি এবং হিসাব করি:

$(\overrightarrow{c},\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{b},\overrightarrow{b})+2(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).$

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}),$ $(\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}),$ এবং $(\overrightarrow{c},\overrightarrow{c})$ গুণফলগুলো হলো অপরিবর্তনীয় ৪-স্কেলার। কিন্তু যদি তারা লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় হয়, তবে স্কেলার গুণফল $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).$-ও অপরিবর্তনীয় হবে।

$\overrightarrow{x},$ ছাড়াও আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ৪-ভেক্টর হলো ৪-বেগ $\overrightarrow{u}=\frac{d\overrightarrow{x}}{ds},$ যা ওয়ার্ল্ডলাইনের $\overrightarrow{x}(s).$ ওপর স্পর্শক হিসেবে কাজ করে। $\overrightarrow{u}$ একটি ৪-ভেক্টর কারণ $\overrightarrow{x}$ নিজেও একটি ৪-ভেক্টর এবং $ds$ একটি স্কেলার (আরও নিখুঁতভাবে বললে, একটি ৪-স্কেলার)।

একটি ৪-ভেক্টর $\overrightarrow{a}$-এর নর্ম বা "মান"-কে $\sqrt{|(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a})|}.$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সহজেই দেখানো যায় যে, $\overrightarrow{u}$-এর নর্ম $c$-এর সমান (অনুশীলনী!)।

সুতরাং আমরা যদি প্রাকৃতিক একক ব্যবহার করি, তবে ৪-বেগ হলো একটি একক ভেক্টর।