এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/ক্যালকুলাস

অন্তরীকরণ ক্যালকুলাস: একটি সংক্ষিপ্ত পরিচিতি

ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র বা অসীম-ক্ষুদ্র রাশি থেকে একটি সুসংজ্ঞায়িত ও সসীম সংখ্যা পাওয়ার আরেকটি পদ্ধতি হলো—এরূপ একটি রাশিকে অন্য আরেকটি রাশি দ্বারা ভাগ করা।

আমরা এখানে ধরে নেব যে, আমরা সুআচরণকারী ফাংশন নিয়ে আলোচনা করছি; যার অর্থ হলো—আপনি পেনসিল না তুলে এই ধরণের ফাংশনের লেখচিত্র বা গ্রাফ অঙ্কন করতে পারবেন, এবং ফাংশনটির প্রতিটি অন্তরক বা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রেও একই কাজ করতে পারবেন। তাহলে ফাংশন কী, এবং একটি ফাংশনের অন্তরক-ই বা কী?

একটি ফাংশন $f(x)$ হলো একটি ইনপুট এবং একটি আউটপুট বিশিষ্ট মেশিনের মতো। এতে একটি সংখ্যা $x$ প্রবেশ করালে আউটপুট হিসেবে $f(x)$ সংখ্যাটি পাওয়া যায়। কিছুটা বিভ্রান্তিকর হলেও, আমরা কখনো কখনো $f(x)$-কে সংখ্যা উৎপাদনকারী কোনো মেশিন হিসেবে না ভেবে, বরং $x$ প্রবেশ করানোর পর যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় সেটি হিসেবেই বিবেচনা করি।

$f(x)$ এর (প্রথম) অন্তরক বা ডেরিভেটিভ $f^{\prime }(x)$ হলো এমন একটি ফাংশন যা আমাদের নির্দেশ করে যে, $x$ বৃদ্ধির সাথে সাথে $f(x)$ কতটুকু বৃদ্ধি পায় (ধরা যাক, $x$ এর একটি নির্দিষ্ট মান $x_0$ থেকে শুরু করে)। এটি এমন একটি সীমার মধ্যে ঘটে যেখানে $x$ এর বৃদ্ধি $\mathrm{\Delta }x$ এবং এর ফলে $f(x)$ এর অনুরূপ বৃদ্ধি $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ (যা অবশ্যই ঋণাত্মকও হতে পারে) উভয়ই ০ (শূন্য)-এর দিকে ধাবিত হয়:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{df}{dx}(x_0).$

উপরের চিত্রগুলো এই সীমা বা লিমিটকে ব্যাখ্যা করে। $\mathrm{\Delta }f/\mathrm{\Delta }x$ অনুপাতটি হলো কালো বৃত্তগুলোর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখাটির ঢাল (অর্থাৎ, ধনাত্মক $x$ অক্ষ এবং সরলরেখাটির মধ্যবর্তী কোণের $\tan$ মান, যা ধনাত্মক $x$ অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করা হয়)। $\mathrm{\Delta }x$ এর মান যত কমতে থাকে, $x+\mathrm{\Delta }x$ অবস্থানে থাকা কালো বৃত্তটি $f(x)$ এর গ্রাফ বরাবর পিছলে $x$ অবস্থানে থাকা কালো বৃত্তটির দিকে অগ্রসর হতে থাকে, এবং বৃত্ত দুটির মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখাটির ঢাল বৃদ্ধি পেতে থাকে। $\mathrm{\Delta }x\to 0$ সীমায় সরলরেখাটি $f(x)$ গ্রাফের ওপর একটি স্পর্শক হয়ে দাঁড়ায়, যা গ্রাফটিকে $x$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। $x_0$ বিন্দুতে $f(x)$ এর ওপর অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল বলতে আমরা মূলত $x_0$ বিন্দুতে $f(x)$ এর ঢাল-কে বুঝি।

সুতরাং, $f(x)$ এর প্রথম অন্তরক $f^{\prime }(x)$ হলো এমন একটি ফাংশন যা প্রতিটি $x$ এর জন্য $f(x)$ এর ঢালের সমান হয়। কোনো ফাংশন $f$-কে অন্তরীকরণ করার অর্থ হলো এর প্রথম অন্তরক $f^{\prime }$ নির্ণয় করা। $f^{\prime }$-কে অন্তরীকরণ করে আমরা $f$ এর দ্বিতীয় অন্তরক $f^{″}=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$ পাই; এবং $f^{″}$-কে অন্তরীকরণ করে আমরা তৃতীয় অন্তরক $f^{‴}=\frac{d^{3}f}{d{x}^3}$ পাই, এবং এভাবেই প্রক্রিয়াটি চলতে থাকে।

সহজেই দেখানো যায় যে, যদি $a$ একটি সংখ্যা হয় এবং $f$ ও $g$ যদি $x$ এর ফাংশন হয়, তবে—

$\frac{d(af)}{dx}=a\frac{df}{dx}$ এবং $\frac{d(f+g)}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}.$

দুটি ফাংশনের গুণফল $e=fg$-কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা কিছুটা জটিল সমস্যা। $f$ এবং $g$-কে $e$ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের উল্লম্ব এবং অনুভূমিক বাহু হিসেবে কল্পনা করা যাক। $x$ এর মান $\mathrm{\Delta }x$ পরিমাণ বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে, $fg$ গুণফলটির বৃদ্ধি নিচের চিত্রের তিনটি সাদা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হবে:

অন্য "কথায়" (বা গাণিতিক ভাষায়),

$\mathrm{\Delta }e=f(\mathrm{\Delta }g)+(\mathrm{\Delta }f)g+(\mathrm{\Delta }f)(\mathrm{\Delta }g)$

এবং ফলস্বরূপ—

$\frac{\mathrm{\Delta }e}{\mathrm{\Delta }x}=f\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}g+\frac{\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}.$

আমরা যদি এখন এমন একটি সীমা বা লিমিট নিই যেখানে $\mathrm{\Delta }x$ এবং এর ফলে $\mathrm{\Delta }f$ ও $\mathrm{\Delta }g$ শূন্যের দিকে ধাবিত হয়, তবে ডানপক্ষের প্রথম দুটি পদ $f{g}^{\prime }+f^{\prime }g$ এর দিকে ধাবিত হবে। কিন্তু তৃতীয় পদটির ক্ষেত্রে কী ঘটবে? যেহেতু এটি এমন একটি রাশির গুণফল যার একটি অংশ ($\mathrm{\Delta }f$ অথবা $\mathrm{\Delta }g$) শূন্যের দিকে ধাবিত হয় এবং অন্য অংশটি ($\mathrm{\Delta }g/\mathrm{\Delta }x$ অথবা $\mathrm{\Delta }f/\mathrm{\Delta }x$) একটি সসীম সংখ্যার দিকে ধাবিত হয়, তাই সামগ্রিকভাবে পদটি ০ (শূন্য)-এর দিকেই ধাবিত হবে। অতএব মূল কথাটি হলো:

$e^{\prime }=(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+f^{\prime }g.$

এটিকে খুব সহজেই $n$-সংখ্যক ফাংশনের গুণফলের জন্য সাধারণীকরণ করা যায়। নিচে এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র দেওয়া হলো:

$(f^n{)}^{\prime }=f^{n-1}{f}^{\prime }+f^{n-2}{f}^{\prime }f+f^{n-3}{f}^{\prime }{f}^2+\cdots +f^{\prime }{f}^{n-1}=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }.$

লক্ষ্য করুন যে, এখানে দুটি সমান চিহ্নের মধ্যে $n$-সংখ্যক সমান পদ রয়েছে। যদি $f$ ফাংশনটির ইনপুট ও আউটপুট অভিন্ন হয় (অর্থাৎ আইডেন্টিটি ফাংশন হয়), তবে সমীকরণটি দাঁড়ায়—

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}.$

এখন ধরা যাক, $g$ হলো $f$ এর একটি ফাংশন এবং $f$ হলো $x$ এর একটি ফাংশন। $x$ এর মান $\mathrm{\Delta }x$ পরিমাণ বৃদ্ধির কারণে $f$ এর মান বৃদ্ধি পায় $\mathrm{\Delta }f\approx \frac{df}{dx}\mathrm{\Delta }x$ পরিমাণ, এবং এটি আবার $g$ এর মান বৃদ্ধি করে $\mathrm{\Delta }g\approx \frac{dg}{df}\mathrm{\Delta }f$ পরিমাণ। সুতরাং, $\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}\approx \frac{dg}{df}\frac{df}{dx}$। $\mathrm{\Delta }x\to 0$ সীমার মধ্যে এই প্রায়-সমান ($\approx$) চিহ্নটি সমান ($=$) চিহ্নে রূপান্তরিত হয়:

$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{df}\frac{df}{dx}.$

---

আমরা পূর্ণসংখ্যা $n\ge 2$ এর জন্য $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ পেয়েছি। স্পষ্টতই এটি $n=0$ এবং $n=1$ এর জন্যও সত্য।

1. দেখাও যে এটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্যও সত্য। ইঙ্গিত: $(x^n{x}^{-n}{)}^{\prime }$ গণনা করতে গুণন বিধি ব্যবহার করো।
2. দেখাও যে $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=1/(2\sqrt{x})$। ইঙ্গিত: $(\sqrt{x}\sqrt{x}{)}^{\prime }$ গণনা করতে গুণন বিধি ব্যবহার করো।
3. দেখাও যে, $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ সমীকরণটি $n=1/m$ এর জন্যও সত্য, যেখানে $m$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
4. দেখাও যে, $n$ একটি মূলদ সংখ্যা হলেও এই সমীকরণটি সত্য হয়। এক্ষেত্রে $\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{df}\frac{df}{dx}$ সূত্রটি ব্যবহার করো।

যেহেতু প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই কোনো না কোনো মূলদ সংখ্যার অনুক্রমের সীমা বা লিমিট, তাই আমরা এখন আত্মবিশ্বাসের সাথে এই ধারণা নিয়ে এগিয়ে যেতে পারি যে, $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ সমীকরণটি সকল বাস্তব সংখ্যা $n$ এর জন্যই সত্য।