এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/ক্ষেত্র

ক্ষেত্র

আপনাদের হয়তো মনে আছে, ফাংশন হলো এমন একটি যন্ত্রের মতো যা একটি সংখ্যা গ্রহণ করে আরেকটি সংখ্যা প্রদান করে। একইভাবে, একটি ক্ষেত্র হলো এমন একটি ফাংশন যা কোনো বিন্দুর তিনটি স্থানাঙ্ক অথবা স্থানকালের কোনো বিন্দুর চারটি স্থানাঙ্ক গ্রহণ করে একটি স্কেলার, ভেক্টর বা টেন্সর (স্থানিক অথবা ৪-মাত্রিক স্থানকাল প্রকৃতির) প্রদান করে।

গ্রেডিয়েন্ট

ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি বক্ররেখা $𝒞$ কল্পনা করা যাক। যদি আমরা এই বক্ররেখার বিন্দুগুলোকে কোনো পরামিতি $\lambda$ দ্বারা চিহ্নিত করি, তবে $𝒞$-কে একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর ফাংশন $𝐫(\lambda )$ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। আমরা জানতে চাই যে, যখন আমরা $𝒞$-এর একটি বিন্দু $𝐫(\lambda )$ থেকে $𝒞$-এর আরেকটি বিন্দু $𝐫(\lambda +d\lambda )$-তে যাই, তখন একটি স্কেলার ক্ষেত্র $f(x,y,z)$-এর মান কতটা পরিবর্তিত হয়। $f$-এর এই পরিবর্তন নির্ভর করবে $𝐫$-এর স্থানাঙ্ক $(x,y,z)$-এর পরিবর্তনের ওপর, যেগুলো আবার নিজেরাও $\lambda$-এর ফাংশন। স্থানাঙ্কগুলোর পরিবর্তন নিচে দেওয়া হলো:

${(}^{\ast })dx=\frac{dx}{d\lambda }d\lambda ,dy=\frac{dy}{d\lambda }d\lambda ,dz=\frac{dz}{d\lambda }d\lambda ,$

এখানে $f$-এর মোট পরিবর্তন হলো তিনটি ভিন্ন পরিবর্তনের সমষ্টি; প্রথমটি $x$-এর পরিবর্তনের জন্য, দ্বিতীয়টি $y$-এর পরিবর্তনের জন্য এবং তৃতীয়টি $z$-এর পরিবর্তনের জন্য:

${(}^{\ast }{}^{\ast })df=\frac{df}{dx}dx+\frac{df}{dy}dy+\frac{df}{dz}dz.$

প্রথম পদটি নির্দেশ করে যে আমরা যখন $(x,y,z)$ থেকে $(x+dx,y,z)$-এ যাই, তখন $f$ কতটা পরিবর্তিত হয়। দ্বিতীয় পদটি নির্দেশ করে $(x,y,z)$ থেকে $(x,y+dy,z)$-এ যাওয়ার পরিবর্তন এবং তৃতীয় পদটি নির্দেশ করে $(x,y,z)$ থেকে $(x,y,z+dz)$-এ যাওয়ার পরিবর্তন।

আমরা যখন প্রথমে $(x,y,z)$ থেকে $(x+dx,y,z)$-এ, এরপর সেখান থেকে $(x+dx,y+dy,z)$-এ এবং সবশেষে $(x+dx,y+dy,z+dz)$-এ যাই, তখন $f$-এর এই পরিবর্তনগুলো কি আমাদের যোগ করা উচিত নয়? আসুন এটি হিসাব করে দেখা যাক।

$\frac{\partial f(x+dx,y,z)}{\partial y}=\frac{\partial [f(x,y,z)+\frac{\partial f}{\partial x}dx]}{\partial y}=\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}dx.$

আমরা যদি সীমা বা লিমিট $dx\to 0$ বিবেচনা করি (যা মূলত $dx$ ব্যবহারের মূল উদ্দেশ্য), তবে শেষ পদটি শূন্য হয়ে যায়। সুতরাং, আমরা $\frac{\partial f(x+dx,y,z)}{\partial y}$-এর পরিবর্তে সহজেই $\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}$ ব্যবহার করতে পারি। এখন (*) সমীকরণটিকে (**) সমীকরণে বসালে আমরা পাই:

$df=(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{d\lambda }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{d\lambda }+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{d\lambda })d\lambda .$

বন্ধনীর ভেতরের রাশিটিকে দুটি ভেক্টরের ডট গুণন হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে:

• স্কেলার ক্ষেত্র $f$-এর গ্রেডিয়েন্ট $\frac{\partial f}{\partial 𝐫}$, যা $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$ উপাংশবিশিষ্ট একটি ভেক্টর ক্ষেত্র।
• ভেক্টর $\frac{d𝐫}{d\lambda }$, যা $𝒞$-এর ওপর একটি স্পর্শক।

আমরা যদি $\lambda$-কে সময় হিসেবে বিবেচনা করি, যখন $𝒞$ বরাবর চলমান একটি বস্তু $𝐫(\lambda )$-তে অবস্থান করে, তবে $\frac{d𝐫}{d\lambda }$-এর মান হবে বস্তুটির দ্রুতি (speed)।

$\frac{\partial }{\partial 𝐫}$ হলো একটি অন্তরক অপারেটর, যা কোনো ফাংশন $f(𝐫)$ গ্রহণ করে তার গ্রেডিয়েন্ট $\frac{\partial f}{\partial 𝐫}$ প্রদান করে।

$f$-এর গ্রেডিয়েন্টও আরেকটি ইনপুট-আউটপুট ব্যবস্থা: এতে $d𝐫$ ইনপুট দিলে নিচের পার্থক্যটি পাওয়া যায়:

$\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\cdot d𝐫=df=f(𝐫+d𝐫)-f(𝐫).$

অন্তরক অপারেটর $\frac{\partial }{\partial 𝐫}$ ডট এবং ক্রস গুণনের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়।

কার্ল

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$-এর কার্ল-কে নিচে সংজ্ঞায়িত করা হলো:

$\text{curl}𝐀=\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\widehat{𝐱}+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\widehat{𝐲}+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\widehat{𝐳}.$

এই সংজ্ঞাটির উপযোগিতা বোঝার জন্য, আসুন একটি বদ্ধ বক্ররেখা $𝒞$-এর সাপেক্ষে সমাকলন $\oint 𝐀\cdot d𝐫$ হিসাব করি। কোনো বক্ররেখার সাপেক্ষে সমাকলনকে রেখা সমাকলন বলা হয়। বক্ররেখাটি বদ্ধ হলে একে লুপ সমাকলন বলা হয়। এই সমাকলনটিকে $𝒞$ বরাবর (অথবা $𝒞$ দ্বারা আবদ্ধ তলের চারদিকে) $𝐀$-এর সার্কুলেশন বলা হয়। ধরা যাক, একটি অতি ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A=(0,0,0),$ $B=(0,dy,0),$ $C=(0,dy,dz),$ এবং $D=(0,0,dz)$। আমরা এই আয়তক্ষেত্রের সীমানা দিয়ে হিসাব শুরু করব।

চারটি বাহু থেকে প্রাপ্ত অবদানগুলো হলো যথাক্রমে:

• $\overline{AB}:A_y(0,dy/2,0)dy,$
• $\overline{BC}:A_z(0,dy,dz/2)dz=[A_z(0,0,dz/2)+\frac{\partial A_z}{\partial y}dy]dz,$
• $\overline{CD}:-A_y(0,dy/2,dz)dy=-[A_y(0,dy/2,0)+\frac{\partial A_y}{\partial z}dz]dy,$
• $\overline{DA}:-A_z(0,0,dz/2)dz.$

এগুলোর যোগফল হলো:

${(}^{\ast }{}^{\ast }{}^{\ast })[\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}]dydz=(\text{curl}𝐀{)}_{x}dydz.$

আসুন ($y$-$z$ তলে অবস্থিত) $dydz$ ক্ষেত্রফলের এই অতি ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রটিকে একটি ভেক্টর $d𝜮$ দ্বারা প্রকাশ করি। এর মান $d\mathrm{\Sigma }=dydz$-এর সমান এবং এটি আয়তক্ষেত্রটির ওপর লম্ব। এর দুটি সম্ভাব্য দিক রয়েছে। ডানদিকের চিত্রে প্রদর্শিত ডান-হস্ত নিয়মটি নির্দেশ করে কীভাবে $d𝜮$-এর দিক সার্কুলেশনের দিকের সাথে সম্পর্কিত। এটি আমাদের (***) সমীকরণটিকে একটি স্কেলার গুণফল $\text{curl}𝐀\cdot d𝜮$ হিসেবে লিখতে সাহায্য করে। স্কেলার হওয়ার কারণে এটি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর অথবা অতি ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রটির ঘূর্ণনের ফলেও অপরিবর্তিত থাকে। সুতরাং, আমরা যদি একটি তল $\mathrm{\Sigma }$-কে এমন অনেকগুলো অতি ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্র দ্বারা আবৃত করি এবং তাদের সার্কুলেশনগুলো যোগ করি, তবে আমরা পাই ${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮$।

এখানে লক্ষ করুন, পাশাপাশি থাকা প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের সাধারণ বাহুগুলোকে বিপরীত অভিমুখে দুবার সমাকলন করা হয়েছে। ফলে তাদের অবদানগুলো একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং কেবল $\mathrm{\Sigma }$-এর সীমানা $\partial \mathrm{\Sigma }$ থেকে প্রাপ্ত অবদানগুলোই অবশিষ্ট থাকে।

অর্থাৎ: ${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮.$

এটিই হলো স্টোকসের উপপাদ্য। লক্ষ করুন, সমীকরণের বামপক্ষটি কেবল $\mathrm{\Sigma }$-এর সীমানা $\partial \mathrm{\Sigma }$-এর ওপর নির্ভর করে। ফলে ডানপক্ষটিও কেবল সীমানার ওপরই নির্ভর করবে। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের তল সমাকলনের মানটি কেবলমাত্র সমাকলনকৃত তলের সীমানায় ভেক্টর ক্ষেত্রের মানের ওপর নির্ভর করে।

যদি ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$ কোনো স্কেলার ক্ষেত্র $f$-এর গ্রেডিয়েন্ট হয় এবং $𝒞$ যদি $𝐀$ থেকে $𝐛$ পর্যন্ত একটি বক্ররেখা হয়, তবে

${\int }_{𝒞}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{𝒞}df=f(𝐛)-f(𝐀).$

সুতরাং, একটি গ্রেডিয়েন্টের রেখা সমাকলনের মান একই প্রান্তবিন্দুবিশিষ্ট সকল বক্ররেখার জন্য সমান হয়। যদি $𝐛=𝐀$ হয়, তবে $𝒞$ একটি লুপে পরিণত হয় এবং ${\int }_{𝒞}𝐀\cdot d𝐫$-এর মান শূন্য হয়ে যায়। স্টোকসের উপপাদ্য থেকে এটি স্পষ্ট হয় যে, একটি গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সম্পূর্ণভাবে শূন্য হয়:

${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\left(\text{curl}\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\right)\cdot d𝜮={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\cdot d𝐫=0.$

ডাইভারজেন্স

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$-এর ডাইভারজেন্স-কে নিচে সংজ্ঞায়িত করা হলো:

$\text{div}𝐀=\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot 𝐀=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.$

এই সংজ্ঞাটির উপযোগিতা বোঝার জন্য, $dx,dy,dz$ বাহুবিশিষ্ট একটি অতি ক্ষুদ্র আয়তন উপাদান $d^{3}r$ বিবেচনা করা যাক। আসুন $d^{3}r$-এর তলের মধ্য দিয়ে কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$-এর নিট (বহির্মুখী) ফ্লাক্স হিসাব করি। এখানে বিপরীত তলের তিনটি জোড়া রয়েছে। $x$ অক্ষের ওপর লম্ব তলগুলোর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত নিট ফ্লাক্স হলো:

$A_x(x+dx,y,z)dydz-A_x(x,y,z)dydz=\frac{\partial A_x}{\partial x}dxdydz.$

একভাবেই অবশিষ্ট তলগুলোর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত নিট ফ্লাক্সও বের করা যায়। সুতরাং, $d^{3}r$ থেকে বাইরের দিকে $𝐀$-এর মোট ফ্লাক্স হলো:

$[\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}]dxdydz=\text{div}𝐀d^{3}r.$

আমরা যদি কোনো অঞ্চল $R$-কে এমন অনেকগুলো অতি ক্ষুদ্র সমান্তরালক বা প্যারালেলেপিপেড দ্বারা পূর্ণ করি এবং তাদের বহির্মুখী নিট ফ্লাক্সগুলো যোগ করি, তবে আমরা পাই ${\int }_R\text{div}𝐀d^{3}r$। এখানে লক্ষ করুন, পাশাপাশি থাকা সমান্তরালকগুলোর সাধারণ তলগুলোকে বিপরীত চিহ্নসহ দুবার হিসাব করা হয়েছে—একটি থেকে নির্গত ফ্লাক্স অন্যটিতে প্রবেশ করা ফ্লাক্সের সমান। ফলে তাদের অবদানগুলো একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং কেবল $R$-এর সীমানা তল $\partial R$ থেকে প্রাপ্ত অবদানগুলোই অবশিষ্ট থাকে। অর্থাৎ:

${\int }_{\partial R}𝐀\cdot d𝜮={\int }_R\text{div}𝐀d^{3}r.$

এটিই হলো গাউসের সূত্র । লক্ষ করুন, সমীকরণের বামপক্ষটি কেবল $R$-এর সীমানা $\partial R$-এর ওপর নির্ভর করে। ফলে ডানপক্ষটিও কেবল সীমানার ওপরই নির্ভর করবে। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্সের আয়তন সমাকলনের মানটি কেবলমাত্র সমাকলনকৃত অঞ্চলের সীমানায় ভেক্টর ক্ষেত্রের মানের ওপর নির্ভর করে।

যদি $\mathrm{\Sigma }$ একটি বদ্ধ তল হয়—যা মূলত কোনো অঞ্চল $R$-এর সীমানা $\partial R$—তবে $\mathrm{\Sigma }$-এর নিজের কোনো সীমানা থাকে না (প্রতীকীভাবে, $\partial \mathrm{\Sigma }=0$)। গাউসের সূত্রের সাথে স্টোকসের উপপাদ্যকে যুক্ত করে আমরা পাই:

${\oint }_{\partial \partial R}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{\partial R}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮={\int }_R\text{div curl}𝐀d^{3}r.$

এখানে বামপক্ষটি হলো সীমানার সীমানার সাপেক্ষে একটি সমাকলন। কিন্তু কোনো সীমানার তো আর সীমানা থাকে না! অর্থাৎ, সীমানার সীমানা হলো শূন্য: $\partial \partial =0$। এর থেকে স্পষ্ট বোঝা যায় যে, ডানপক্ষটিও শূন্য হবে। সুতরাং, কেবল কোনো গ্রেডিয়েন্টের কার্ল-ই নয়, বরং যেকোনো কার্লের ডাইভারজেন্সও সম্পূর্ণভাবে শূন্য হয়ে যায়:

$\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times \frac{\partial f}{\partial 𝐫}=0,\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀=0.$

কিছু প্রয়োজনীয় অভেদ

$d𝐫\times (\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀)\frac{\partial }{\partial 𝐫}(𝐀\cdot d𝐫)-(d𝐫\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫})𝐀$

$\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times (\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀)=\frac{\partial }{\partial 𝐫}(\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot 𝐀)-(\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫})𝐀.$