এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/গাণিতিক সরঞ্জাম

গাণিতিক সরঞ্জাম

ক্যালকুলাসের প্রাথমিক উপাদানসমূহ

নির্দিষ্ট যোগজ

ধরা যাক একটি বস্তু $𝒪$ একমাত্রিক স্থানে-যেমন $x$ অক্ষ বরাবর-মুক্তভাবে চলাচল করতে পারে। অন্য যেকোনো ভৌত বস্তুর মতোই, এর একটি কম-বেশি অস্পষ্ট বা অনিশ্চিত অবস্থান রয়েছে (আমরা যে নির্দেশক বস্তুই নির্বাচন করি না কেন, তার সাপেক্ষে)। এই অস্পষ্ট অবস্থানটি বর্ণনা করার উদ্দেশ্যে, কোয়ান্টাম বলবিদ্যা আমাদের একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব $\rho (x)$ প্রদান করে। এটি প্রকৃত পরিমাপের ফলাফলের ওপর নির্ভর করে, এবং এর মাধ্যমে আমরা $x$ অক্ষের যেকোনো নির্দিষ্ট ব্যবধানে বা অন্তরালে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি, যদি একটি সঠিক পরিমাপ করা হয়ে থাকে। (আমাদের মূলমন্ত্রটি মনে রাখুন: কোয়ান্টাম বলবিদ্যার গাণিতিক আনুষ্ঠানিকতা মূলত প্রকৃত ফলাফলের ভিত্তিতে সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফলের সাথে সম্ভাবনা যুক্ত করতে কাজ করে।)

আমরা $\rho (x)$-কে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বলি কারণ এটি প্রতি একক দৈর্ঘ্যের সম্ভাবনাকে প্রকাশ করে। $x_1$ এবং $x_2$-এর মধ্যবর্তী ব্যবধানে বস্তু $𝒪$-কে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা মূলত $\rho (x)$ এর লেখচিত্র, $x$ অক্ষ এবং যথাক্রমে $x_1$ ও $x_2$ বিন্দুতে অঙ্কিত উল্লম্ব রেখাগুলোর মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল $A$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। আমরা কীভাবে এই ক্ষেত্রফলটি গণনা করব? এর কৌশলটি হলো এই ক্ষেত্রফলটিকে $\mathrm{\Delta }x$ প্রস্থ বিশিষ্ট কতগুলো সংকীর্ণ আয়তক্ষেত্র দ্বারা আবৃত করা।

বাম দিক থেকে প্রথম আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো $\rho (x_1+\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$, দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফল হলো $\rho (x_1+2\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$, এবং শেষ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো $\rho (x_1+12\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$। এই ক্ষেত্রফলগুলোর সমষ্টি সংক্ষেপে প্রকাশের জন্য আমরা নিচের সংকেতটি ব্যবহার করি-

$\sum _{k=1}^{12}\rho (x+k\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$

এটি কল্পনা করা কঠিন নয় যে, আমরা যদি আয়তক্ষেত্রের সংখ্যা $N$ বৃদ্ধি করি এবং একই সাথে প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $\mathrm{\Delta }x$ হ্রাস করি, তবে $x_1$ এবং $x_2$-এর মধ্যে $\rho (x)$ গ্রাফের নিচে থাকা সমস্ত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি আমাদের ক্ষেত্রফল $A$-এর আরও নিখুঁত বা কাছাকাছি মান দেবে; অর্থাৎ $x_1$ এবং $x_2$-এর মধ্যবর্তী ব্যবধানে $𝒪$-কে খুঁজে পাওয়ার সঠিক সম্ভাবনা নির্দেশ করবে। যখন $\mathrm{\Delta }x$ শূন্যের (০) দিকে ধাবিত হয় এবং $N$ অসীমের ($\mathrm{\infty }$) দিকে ধাবিত হয়, তখন উপরের সমষ্টিটি রূপান্তরিত হয় এই 'যোগজ-এ-

${\int }_{x_1}^{x_2}\rho (x)dx$

আমরা মাঝে মাঝে এটিকে একটি 'নির্দিষ্ট' যোগজ বলি জোর দেওয়ার জন্য যে এর মান কেবল একটি সংখ্যা। (আপনি যেমনটি অনুমান করতে পারছেন, 'অনির্দিষ্ট' যোগজও রয়েছে, যা সম্পর্কে আপনারা পরবর্তীতে আরও বিস্তারিত জানতে পারবেন।) বড় হাতের ডেল্টা বা সিগমা চিহ্নটি এখানে $d$-এ রূপান্তরিত হয়েছে, যা নির্দেশ করে যে $dx$ হলো একটি অসীম-ক্ষুদ্র বা ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রস্থ। এবং সমষ্টির প্রতীকটি (বড় হাতের সিগমা) একটি দীর্ঘায়িত S-এ রূপান্তরিত হয়েছে যা নির্দেশ করে যে আমরা অসীম-সংখ্যক ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল একসঙ্গে যোগ করছি।

"ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র" শব্দটি দেখে ভয় পাবেন না। একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র রাশি নিজের থেকে কিছুই প্রকাশ করে না। মূলত যোগজীকরণ প্রতীক $\int$-এর সাথে এই ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র রাশি $dx$-এর 'সম্মিলিত রূপটিই' একটি 'সীমা' বা 'লিমিট' হিসেবে অর্থপূর্ণ হয়ে ওঠে; যেখানে $N$-এর মান যেকোনো বৃহত্তম সংখ্যার চেয়েও বড় হতে থাকে, $dx$ (এবং এর ফলে প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) যেকোনো ক্ষুদ্রতম (ধনাত্মক) সংখ্যার চেয়েও ছোট হতে থাকে, অথচ এই ক্ষেত্রফলগুলোর সমষ্টি একটি সুসংজ্ঞায়িত ও সসীম সংখ্যার দিকে ধাবিত হয়।