এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/ঘাতীয় অপেক্ষক

ঘাতীয় অপেক্ষক

আমরা $\exp (x)$ ফাংশনটিকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করি যেন এটি-

${\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)$ এবং $\exp (0)=1$ শর্ত দুটি পূরণ করে।

এই ফাংশনটির মান সর্বদাই এর ঢালের সমান হয়। প্রথম সংজ্ঞায়িত সমীকরণটিকে বারবার অন্তরীকরণ করে আমরা পাই-

${\exp }^{(n)}(x)={\exp }^{(n-1)}(x)=\cdots =\exp (x)$

এখন দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে আমরা জানতে পারি যে, সকল $k$ এর জন্য ${\exp }^{(k)}(0)=1$। এর ফলে একটি অত্যন্ত সহজ টেইলর ধারা পাওয়া যায়:

$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

চলুন যাচাই করে দেখা যাক যে, একটি সুআচরণকারী ফাংশন তখনই-

$f(a)f(b)=f(a+b)$

সমীকরণটি সিদ্ধ করবে, যদি এবং কেবল যদি-

$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ হয়।

আমরা এটি প্রমাণ করার জন্য $f$-কে $a$ এবং $b$ এর ঘাত বা পাওয়ার হিসেবে বিস্তৃত করব এবং তাদের সহগগুলো তুলনা করব। আমরা পাই -

$f(a)f(b)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!k!}{a}^i{b}^k,$

এবং দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে পাই -

$(a+b{)}^i=\sum _{l=0}^i\frac{i!}{(i-l)!l!}{a}^{i-l}{b}^l,$

একইভাবে আমরা লিখতে পারি-

$f(a+b)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}(a+b{)}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{l=0}^i\frac{f^{(i)}(0)}{(i-l)!l!}{a}^{i-l}{b}^l=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i+k)}(0)}{i!k!}{a}^i{b}^k$

প্রমাণিত।

$\exp (x)$ ফাংশনটি স্পষ্টতই $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ শর্তটি পূরণ করে এবং ফলস্বরূপ $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটিকেও সিদ্ধ করে।

ঠিক একইভাবে $f(x)=\exp (ux)$ ফাংশনটিও এটি সিদ্ধ করে।

তাছাড়া, $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ থেকে এটিও বোঝায় যে, $f^{(n)}(0)=[f^{\prime }(0){]}^n$।

এ থেকে আমরা নিচের সিদ্ধান্তগুলো নিতে পারি:

• যেসব ফাংশন $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটি সিদ্ধ করে, তারা একটি এক-প্যারামিটার বিশিষ্ট পরিবার গঠন করে, যেখানে বাস্তব সংখ্যা $f^{\prime }(0)$ হলো সেই প্যারামিটার বা চলক, এবং

• ফাংশনের এই এক-প্যারামিটার পরিবার $\exp (ux)$ সমীকরণটি $f(a)f(b)=f(a+b)$ সিদ্ধ করে, যেখানে বাস্তব সংখ্যা $u$ হলো এর প্যারামিটার।

তবে $f(x)=v^x$-ও ফাংশনের একটি এক-প্যারামিটার পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে যা $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটি সিদ্ধ করে, যেখানে ধনাত্মক সংখ্যা $v$ হলো এর প্যারামিটার।

উপসংহার: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $u$ এর জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা $v$ (এবং বিপরীতভাবেও) রয়েছে, যেন $v^x=\exp (ux)$ হয়।

গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি সংখ্যা হলো $e$। এটিকে এমন একটি সংখ্যা $v$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য $u=1$ হয়, অর্থাৎ: $e^x=\exp (x)$:

$e=\exp (1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

---

'স্বাভাবিক লগারিদম' $\ln (x)</nbsp>$-কে $\exp (x)$ এর বিপরীত ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ-$\exp [\ln (x)]=\ln [\exp (x)]=x$। দেখাও যে:

$\frac{d\ln f(x)}{dx}=\frac{1}{f(x)}\frac{df}{dx}$

ইঙ্গিত: $\exp \{\ln [f(x)]\}$-কে অন্তরীকরণ করো।