এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/জটিল সংখ্যা

জটিল সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যা গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে স্বাভাবিক সংখ্যা বিয়োগ করে আমরা এমন পূর্ণসংখ্যা তৈরি করতে পারি যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। (শূন্য ব্যতীত) অন্য পূর্ণসংখ্যা দ্বারা পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করে আমরা মূলদ সংখ্যা তৈরি করতে পারি যা পূর্ণসংখ্যা নয়। ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে আমরা অমূলদ বাস্তব সংখ্যা তৈরি করতে পারি। এবং ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে আমরা কাল্পনিক জটিল সংখ্যা তৈরি করতে পারি।

যেকোনো কাল্পনিক সংখ্যা হলো একটি বাস্তব সংখ্যাকে তার ধনাত্মক বর্গমূল দ্বারা গুণ করার ফল।$-1,$ যার জন্য আমাদের কাছে প্রতীক আছে =+−1 .$i={}_{+}\sqrt{-1}.$

প্রতিটি জটিল সংখ্যা$z$বাস্তব সংখ্যার যোগফল একটি$a$(আসল অংশ)$z$এবং একটি কাল্পনিক সংখ্যা $ib.$ কিছুটা বিভ্রান্তিকরভাবে, কাল্পনিক অংশটি$z$আসল সংখ্যা$b.$

যেহেতু বাস্তব সংখ্যাগুলোকে একটি রেখার উপর অবস্থিত বিন্দু হিসেবে কল্পনা করা যায়, তাই এদেরকে বাস্তব রেখা হিসেবেও উল্লেখ করা হয় (বা বাস্তব রেখার অংশ হিসেবে ভাবা হয়)। যেহেতু জটিল সংখ্যাগুলোকে একটি সমতলের উপর অবস্থিত বিন্দু হিসেবে কল্পনা করা যায়, তাই এদেরকে জটিল সমতল হিসেবেও উল্লেখ করা হয় (বা জটিল সমতলের অংশ হিসেবে ভাবা হয়)। এই সমতলে দুটি অক্ষ থাকে, একটি অনুভূমিক (বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গঠিত বাস্তব অক্ষ) এবং একটি উল্লম্ব (কাল্পনিক সংখ্যা দ্বারা গঠিত কাল্পনিক অক্ষ)।

বাস্তব' এবং 'কাল্পনিক' এই খেয়ালি তকমা দ্বারা বিভ্রান্ত হবেন না। কোনো সংখ্যাই সেই অর্থে বাস্তব নয়, যে অর্থে, ধরা যাক, আপেল বাস্তব। সাধারণ অর্থে বাস্তব সংখ্যাগুলো কাল্পনিক সংখ্যার চেয়ে কোনো অংশে কম কাল্পনিক নয়, এবং গাণিতিক অর্থে কাল্পনিক সংখ্যাগুলোও বাস্তব সংখ্যার চেয়ে কোনো অংশে কম বাস্তব নয়। আপনি যদি এখনও জটিল সংখ্যার সাথে পরিচিত না হন, তার কারণ হলো গণনা বা পরিমাপের জন্য আপনার এগুলোর প্রয়োজন নেই। পরিমাপের ফলাফলের সম্ভাব্যতা গণনা করার জন্য আপনার এগুলোর প্রয়োজন।

এই চিত্রটিতে অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে জটিল সংখ্যার যোগফল দেখানো হয়েছে:

$z_1+z_2=(a_1+i{b}_1)+(a_2+i{b}_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2).$

যেমনটি দেখতে পাচ্ছেন, দুটি ভেক্টর যোগ করার পদ্ধতিতেই দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করা হয়। $(a,b)$ এবং $(c,d)$ একটি বিমানে।

কোনো জটিল সংখ্যার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নির্দিষ্ট করতে আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার পরিবর্তে, আমরা পরম মান বা মডুলাস নির্দিষ্ট করতে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করতে পারি। $r=|z|$ এবং জটিল যুক্তি বা পর্যায় $\alpha$ যা রেডিয়ানে পরিমাপ করা একটি কোণ এই স্থানাঙ্কগুলোর মধ্যে সম্পর্কটি নিচে দেওয়া হলো:

$a=r\cos \alpha ,b=r\sin \alpha ,r={}_{+}\sqrt{a^2+b^2},$

(পিথাগোরাসের সূত্র মনে আছে?)

$\alpha =\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{b}{a})& \text{if }a>0\\ \arctan (\frac{b}{a})+\pi & \text{if }a<0\text{ and }b\ge 0\\ \arctan (\frac{b}{a})-\pi & \text{if }a<0\text{ and }b<0\\ +\frac{\pi }{2}& \text{if }a=0\text{ and }b>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }a=0\text{ and }b<0\end{array}\text{or}\alpha =\{\begin{array}{cc}+\arccos (\frac{a}{r})& \text{if }b\ge 0\\ -\arccos (\frac{a}{r})& \text{if }b<0\end{array}$

জটিল সংখ্যা গুণ করতে পারার জন্য আপনার শুধু এতটুকুই জানা প্রয়োজন যে $i^2=-1$:

$z_1{z}_2=(a_1+i{b}_1)(a_2+i{b}_2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+i(a_1{b}_2+b_1{a}_2).$

তবে, জটিল সংখ্যা গুণ করার একটি সহজ উপায় আছে। এর জন্য পাওয়ার সিরিজ (বা টেইলর সিরিজ) ব্যবহার করে মান বসানো যায়। $\cos$ and $\sin ,$

$\cos x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

$\sin x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots ,$

অভিব্যক্তিতে $\cos \alpha +i\sin \alpha$ এবং পদগুলো পুনর্বিন্যাস করে, আমরা পাই

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ix{)}^k}{k!}=1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\cdots$

কিন্তু এটি হলো সূচকীয় ফাংশনের পাওয়ার/টেলর সিরিজ।$e^y$ সাথে $y=ix$! সুতরাং ইউলারের সূত্র

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha ,$

এবং এটি দুটি জটিল সংখ্যার গুণকে তাদের পরম মান গুণ করা এবং তাদের দশা যোগ করার মধ্যে সীমাবদ্ধ করে দেয়:

$(z_1)(z_2)=r_1{e}^{i{\alpha }_1}{r}_2{e}^{i{\alpha }_2}=(r_1{r}_2)e^{i({\alpha }_1+{\alpha }_2)}.$

একটি অত্যন্ত দরকারি সংজ্ঞা হলো জটিল অনুবন্ধী $z^{\ast }=a-ib$ of $z=a+ib.$ অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে, এটি আমাদের পরম বর্গ গণনা করতে সাহায্য করে।$|z{|}^2$ গুণফল গণনা করে

$z{z}^{\ast }=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.$

---

১. দেখাও যে

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\text{and}\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

২.তর্কসাপেক্ষে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পাঁচটি সংখ্যা হলো $0,1,i,\pi ,e.$এই সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটি একবার করে ব্যবহার করে একটি সমীকরণ লেখো।(উত্তর)?