এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/টেইলর ধারা

টেইলর ধারা

একটি সুশৃঙ্খল ফাংশনকে ঘাত ধারায় বিস্তৃত করা যায়। এর অর্থ হলো সকল অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য এমন বাস্তব সংখ্যা $a_k$ বিদ্যমান থাকে যার ফলে

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$

আসুন $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ব্যবহার করে প্রথম চারটি অন্তরজ হিসাব করি:

$f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+\cdots$

$f^{″}(x)=2a_2+2\cdot 3a_{3}x+3\cdot 4a_4{x}^2+4\cdot 5a_5{x}^3+\cdots$

$f^{‴}(x)=2\cdot 3a_3+2\cdot 3\cdot 4a_{4}x+3\cdot 4\cdot 5a_5{x}^2+\cdots$

$f^{⁗}(x)=2\cdot 3\cdot 4a_4+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5a_{5}x+\cdots$

$x$-এর মান শূন্য বসালে আমরা পাই,

$f(0)=a_0,f^{\prime }(0)=a_1,f^{″}(0)=2a_2,f^{‴}(0)=2\times 3a_3,f^{⁗}(0)=2\times 3\times 4a_4.$

আসুন $f(x).$-এর $n$-তম অন্তরজকে $f^{(n)}(x)$ হিসেবে লিখি। আমরা $f^{(0)}(x)=f(x)$-ও লিখি — $f(x)$-কে $f(x).$-এর "শূন্যতম অন্তরজ" হিসেবে বিবেচনা করুন। এভাবে আমরা সাধারণ ফলাফল $f^{(k)}(0)=k!a_k,$-এ পৌঁছাই, যেখানে ফ্যাক্টোরিয়াল $k!$-কে $k=0$ এবং $k=1$-এর জন্য 1-এর সমান হিসেবে এবং $k>1.$-এর জন্য সকল স্বাভাবিক সংখ্যা $n\le k$-এর গুণফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। $x=0,$-তে $f(x)$-এর অন্তরজগুলোর সাপেক্ষে সহগ $a_k$-গুলোকে প্রকাশ করলে আমরা পাই,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{″}(0)\frac{x^2}{2!}+f^{‴}(0)\frac{x^3}{3!}+\cdots$

এটি হলো $f(x).$-এর জন্য টেইলর ধারা।

একটি চমৎকার ফলাফল: যদি আপনি কোনো সুশৃঙ্খল ফাংশন $f(x)$-এর মান এবং একটি মাত্র বিন্দু $x=0$-তে এর সকল অন্তরজের মান জানেন, তবে আপনি সকল বিন্দু $x.$-এ $f(x)$-কে জানতে পারবেন। তাছাড়া, $x=0,$-এর মধ্যে বিশেষ কিছু নেই, তাই যেকোনো অন্য বিন্দু $x_0$-তেও এর মান এবং এর অন্তরজগুলোর মান দ্বারা $f(x)$ নির্ধারিত হয়:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$