এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/ভেক্টর

ভেক্টর (স্থানিক)

একটি ভেক্টর হলো এমন একটি রাশি যার মান এবং দিক উভয়ই আছে। ভেক্টরকে তীরচিহ্ন হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে। নিচের চিত্রটি দেখায় যে একটি ভেক্টর $𝐚 .$ -এর উপাংশ $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ বলতে আমরা কী বুঝি।

দুটি ভেক্টরের যোগফল $𝐚 + 𝐛$ -এর উপাংশগুলো হলো $(a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z}) .$

তীরচিহ্নের সাহায্যে ভেক্টরের যোগফল ব্যাখ্যা করুন।

দুটি ভেক্টরের ডট গুণন হলো নিচের সংখ্যাটি:

𝐚 \cdot 𝐛 = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} .

এর গুরুত্ব এই কারণে যে, এটি ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে। এটি দেখার জন্য, আমরা হিসাব করি:

(𝐚 + 𝐛) \cdot (𝐚 + 𝐛) = (a_{x} + b_{x})^{2} + (a_{y} + b_{y})^{2} + (a_{z} + b_{z})^{2} =

a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2} + 2 (a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}) = 𝐚 \cdot 𝐚 + 𝐛 \cdot 𝐛 + 2 𝐚 \cdot 𝐛 .

পিথাগোরাস অনুসারে, $𝐚$ -এর মান হলো $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} .$ যদি আমরা একটি ভিন্ন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করি, তবে $𝐚$ -এর উপাংশগুলো ভিন্ন হবে: $(a_{x}, a_{y}, a_{z}) \to (a'_{x}, a'_{y}, a'_{z}) .$ কিন্তু নতুন অক্ষ ব্যবস্থাটি যদি কেবল অক্ষগুলোর ঘূর্ণন এবং/অথবা সরণের কারণে ভিন্ন হয়, তবে $𝐚$ -এর মান একই থাকবে:

\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} = \sqrt{(a'_{x})^{2} + (a'_{y})^{2} + (a'_{z})^{2}} .

বর্গকৃত মানগুলো $𝐚 \cdot 𝐚,$ $𝐛 \cdot 𝐛,$ এবং $(𝐚 + 𝐛) \cdot (𝐚 + 𝐛)$ ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয়, এবং তাই, গুণফল $𝐚 \cdot 𝐛 .$ -ও অপরিবর্তনীয়।

দেখান যে ডট গুণন সরণের অধীনেও অপরিবর্তনীয়।

যেহেতু স্কেলার বলতে আমরা এমন একটি সংখ্যাকে বুঝি যা নির্দিষ্ট রূপান্তরের (এক্ষেত্রে স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর ঘূর্ণন এবং/অথবা সরণ) অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে, তাই ডট গুণন স্কেলার গুণন হিসেবেও পরিচিত। আসুন প্রমাণ করি যে,

𝐚 \cdot 𝐛 = a b \cos θ,

যেখানে $θ$ হলো $𝐚$ এবং $𝐛 .$ -এর মধ্যবর্তী কোণ। এটি করার জন্য, আমরা এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা $ℱ$ বেছে নিই যেখানে $𝐚 = (a, 0, 0) .$ এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $𝐚 \cdot 𝐛 = a b_{x}$ এবং $b_{x} = b \cos θ .$ যেহেতু $𝐚 \cdot 𝐛$ একটি স্কেলার, এবং যেহেতু স্কেলারগুলো ঘূর্ণন ও সরণের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে, তাই $𝐚 \cdot 𝐛 = a b \cos θ$ ফলাফলটি (যা নির্দিষ্ট কোনো নির্দেশতন্ত্রের ওপর নির্ভর করে না) $ℱ .$ -এর সাপেক্ষে ঘূর্ণিত এবং/অথবা স্থানান্তরিত সকল নির্দেশতন্ত্রের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।

এখন আমরা একক ভেক্টর $\hat{𝐱}, \hat{𝐲}, \hat{𝐳},$ -এর পরিচয় করিয়ে দিচ্ছি, যাদের দিকগুলো স্থানাঙ্ক অক্ষ দ্বারা নির্ধারিত হয়। এরা একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি গঠন করে বলে বলা হয়। অর্থো কারণ এরা পরস্পরের ওপর লম্ব:

\hat{𝐱} \cdot \hat{𝐲} = \hat{𝐱} \cdot \hat{𝐳} = \hat{𝐲} \cdot \hat{𝐳} = 0.

নরমাল কারণ এরা একক ভেক্টর:

\hat{𝐱} \cdot \hat{𝐱} = \hat{𝐲} \cdot \hat{𝐲} = \hat{𝐳} \cdot \hat{𝐳} = 1.

এবং ভিত্তি কারণ প্রতিটি ভেক্টর $𝐯$ -কে এই তিনটি ভেক্টরের একটি যোগাশ্রয়ী সমাবেশ-রূপে লেখা যেতে পারে — অর্থাৎ, এমন একটি যোগফল যেখানে প্রতিটি ভিত্তি ভেক্টর একবার করে উপস্থিত থাকে, এবং তা $𝐯$ -এর সংশ্লিষ্ট উপাংশ (যা 0-ও হতে পারে) দ্বারা গুণ করা থাকে:

𝐯 = v_{x} \hat{𝐱} + v_{y} \hat{𝐲} + v_{z} \hat{𝐳} .

এটি সহজেই দেখা যায় যে, $v_{x} = \hat{𝐱} \cdot 𝐯,$ $v_{y} = \hat{𝐲} \cdot 𝐯,$ $v_{z} = \hat{𝐳} \cdot 𝐯,$ যার কারণে আমরা পাই:

𝐯 = \hat{𝐱} (\hat{𝐱} \cdot 𝐯) + \hat{𝐲} (\hat{𝐲} \cdot 𝐯) + \hat{𝐳} (\hat{𝐳} \cdot 𝐯) .

আরেকটি প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা (যদিও এটি কেবল ৩-মাত্রিক স্থানে প্রযোজ্য) হলো দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন:

𝐚 \times 𝐛 = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) \hat{𝐱} + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) \hat{𝐲} + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) \hat{𝐳} .

দেখান যে ক্রস গুণন হলো অপ্রতিসম: $𝐚 \times 𝐛 = - 𝐛 \times 𝐚 .$

এর ফলে, $𝐚 \times 𝐚 = 0.$

দেখান যে, $𝐚 \cdot (𝐚 \times 𝐛) = 𝐛 \cdot (𝐚 \times 𝐛) = 0.$

সুতরাং $𝐚 \times 𝐛$ ভেক্টরটি $𝐚$ এবং $𝐛 .$ উভয়ের ওপরই লম্ব।

দেখান যে, $𝐚 \times 𝐛$ -এর মান $a b \sin α,$ -এর সমান, যেখানে $α$ হলো $𝐚$ এবং $𝐛 .$ -এর মধ্যবর্তী কোণ। ইঙ্গিত: এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করুন যেখানে $𝐚 = (a, 0, 0)$ এবং $𝐛 = (b \cos α, b \sin α, 0) .$

যেহেতু $a b \sin α$ রাশিটি $𝐚$ এবং $𝐛,$ দ্বারা গঠিত সামান্তরিক $P$ -এর ক্ষেত্রফল $A$ -ও প্রকাশ করে, তাই আমরা $𝐚 \times 𝐛$ -কে $P .$ -এর ওপর লম্ব $A$ মানের একটি ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। যেহেতু ক্রস গুণনের ফলে একটি ভেক্টর পাওয়া যায়, তাই এটি ভেক্টর গুণন নামেও পরিচিত।

(একটি ভেক্টরের জন্য যেমনটি প্রয়োজন, ক্রস গুণন যে স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর সরণ এবং ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে, তা প্রমাণের ঝামেলা থেকে আমরা নিজেদেরকে মুক্ত রাখছি। তবে প্রসঙ্গক্রমে বলে রাখি যে, যদি $𝐚$ এবং $𝐛$ পোলার ভেক্টর হয়, তবে $𝐚 \times 𝐛$ হবে একটি অক্ষীয় ভেক্টর। প্রতিফলনের অধীনে (উদাহরণস্বরূপ, কোনো স্থানাঙ্ক অক্ষের বিপরীতকরণ) একটি সাধারণ (বা পোলার) ভেক্টর অপরিবর্তনীয় থাকে, যেখানে একটি অক্ষীয় ভেক্টর এর চিহ্ন পরিবর্তন করে।)

স্কেলার এবং ভেক্টর উভয় গুণনের সাথে সম্পর্কিত একটি প্রয়োজনীয় সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলো:

𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 (𝐜 \cdot 𝐚) - (𝐚 \cdot 𝐛) 𝐜 .

টেমপ্লেট:BookCat

এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/ভেক্টর

ভেক্টর (স্থানিক)

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

অনুসন্ধান