এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/সাইন ও কোসাইন

সাইন ও কোসাইন

আমরা $\cos (x)$ ফাংশনটিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি যে,

${\cos }^{″}(x)=-\cos (x),\cos (0)=1$  এবং  ${\cos }^{\prime }(0)=0.$

আপনি যদি কেবল এই তথ্যগুলো ব্যবহার করে ফাংশনটির লেখচিত্র আঁকেন, তবে লক্ষ্য করবেন যে যেখানে $\cos (x)$ ধনাত্মক, সেখানে $x$ বৃদ্ধির সাথে সাথে এর ঢাল হ্রাস পায় (অর্থাৎ, এর লেখচিত্রটি নিচের দিকে বেঁকে যায়), এবং যেখানে $\cos (x)$ ঋণাত্মক, সেখানে $x$ বৃদ্ধির সাথে সাথে এর ঢাল বৃদ্ধি পায় (অর্থাৎ, এর লেখচিত্রটি ওপরের দিকে বেঁকে যায়)।

প্রথম সংজ্ঞায়িত সমীকরণটিকে বারবার অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায়

${\cos }^{(n+2)}(x)=-{\cos }^{(n)}(x)$

সকল স্বাভাবিক সংখ্যা $n.$-এর জন্য। অবশিষ্ট সংজ্ঞায়িত সমীকরণগুলো ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে, k = 0,4,8,12…-এর জন্য ${\cos }^{(k)}(0)$-এর মান 1; k = 2,6,10,14…-এর জন্য মান –1; এবং বিজোড় k-এর জন্য মান 0 হয়। এটি নিচের টেলর ধারার দিকে পরিচালিত করে:

$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots .$

$\sin (x)$ ফাংশনটিকেও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে প্রয়োজন হয় যে,

${\sin }^{″}(x)=-\sin (x),\sin (0)=0,\text{এবং}{\sin }^{\prime }(0)=1.$

এর ফলে নিচের টেলর ধারাটি পাওয়া যায়:

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots .$