এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/সূচকীয় ফাংশন

সূচকীয় ফাংশন

আমরা $\exp (x)$ ফাংশনটিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

${\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)$  এবং  $\exp (0)=1.$

এই ফাংশনটির মান সর্বদা এর ঢালের সমান। প্রথম সমীকরণটিকে বারবার অন্তরীকরণ করে আমরা পাই:

${\exp }^{(n)}(x)={\exp }^{(n-1)}(x)=\cdots =\exp (x).$

দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে দেখা যায় যে, সকল $k$-এর জন্য ${\exp }^{(k)}(0)=1$। এর ফলে আমরা একটি অত্যন্ত সরল টেলর ধারা পাই:

$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

এবার যাচাই করে দেখা যাক, একটি সুশৃঙ্খল ফাংশন নিচের সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে কি না:

$f(a)f(b)=f(a+b)$

যদি এবং কেবল যদি

$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0).$

আমরা $f$ ফাংশনগুলোকে $a$ ও $b$-এর ঘাত আকারে বিস্তৃত করে এবং এদের সহগগুলো তুলনা করার মাধ্যমে এটি প্রমাণ করব। এতে আমরা পাই:

$f(a)f(b)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!k!}{a}^i{b}^k,$

এবং দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে পাই:

$(a+b{)}^i=\sum _{l=0}^i\frac{i!}{(i-l)!l!}{a}^{i-l}{b}^l,$

আবার,

$f(a+b)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}(a+b{)}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{l=0}^i\frac{f^{(i)}(0)}{(i-l)!l!}{a}^{i-l}{b}^l=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i+k)}(0)}{i!k!}{a}^i{b}^k.$

যা প্রমাণিত হলো।

$\exp (x)$ ফাংশনটি স্পষ্টভাবে $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে, তাই $f(a)f(b)=f(a+b)$।

$f(x)=\exp (ux)$ ফাংশনটির ক্ষেত্রেও এটি সত্য।

তাছাড়া, $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ থেকে বোঝা যায় যে, $f^{(n)}(0)=[f^{\prime }(0){]}^n$।

এখান থেকে স্পষ্ট হয় যে:

• $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটি সিদ্ধ করে এমন ফাংশনগুলো একটি এক-পরামিতিক পরিবার গঠন করে, যার পরামিতিটি হলো বাস্তব সংখ্যা $f^{\prime }(0)$।

• $\exp (ux)$ ফাংশনগুলোর এক-পরামিতিক পরিবারও $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে, যার পরামিতিটি হলো বাস্তব সংখ্যা $u$।

আবার, $f(x)=v^x$-ও ফাংশনের একটি এক-পরামিতিক পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে যা $f(a)f(b)=f(a+b)$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। এখানে পরামিতিটি হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা $v$।

উপসংহার: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $u$-এর জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা $v$ রয়েছে (এবং এর বিপরীতটিও সত্য) যার জন্য $v^x=\exp (ux)$ হয়।

গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি সংখ্যা হলো $e$। একে এমন একটি সংখ্যা $v$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য $u=1$ হয়, অর্থাৎ: $e^x=\exp (x)$:

$e=\exp (1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

---

স্বাভাবিক লগারিদম $\ln (x)$-কে $\exp (x)$-এর বিপরীত ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। তাই, $\exp [\ln (x)]=\ln [\exp (x)]=x$। দেখান যে,

$\frac{d\ln f(x)}{dx}=\frac{1}{f(x)}\frac{df}{dx}.$

ইঙ্গিত: $\exp \{\ln [f(x)]\}$-কে অন্তরীকরণ করুন।