এই কোয়ান্টাম জগৎ/ফাইনম্যান পথ

শ্রোডিঙার সমীকরণে ফাইনম্যানের পথ

$t_2$ সময়ে কোনো পরিমাপের সম্ভাব্য ফলাফলগুলোর সম্ভাব্যতা শ্রোডিঙারের তরঙ্গ ফাংশন $\psi (𝐫,t_2)$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই তরঙ্গ ফাংশন $\psi (𝐫,t_2)$ আবার [[../গুরুতর রোগ/শ্রোডিঙার|শ্রোডিঙার সমীকরণের]] মাধ্যমে $\psi (𝐫,t_1)$ থেকে পাওয়া যায়। কিন্তু $\psi (𝐫,t_1)$-কে কে নির্ধারণ করে? $t_1$ সময়ে করা কোনো পরিমাপের ফলাফলই তো এটি নির্ধারণ করবে, তাই নয় কি? আসলে, অতীতে করা পরিমাপের প্রকৃত ফলাফলগুলোই ভবিষ্যতের সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফলগুলোর সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে।

দুটি নিয়ম

এই অধ্যায়ে আমরা দুটি মৌলিক নিয়ম থেকে কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সম্ভাব্যতার অ্যালগরিদমটি তৈরি করব। শুরুতেই দুটি সংজ্ঞা জেনে নেওয়া যাক:

• পরিমাপের ফলাফলের সম্ভাব্য অনুক্রমগুলোকে বিকল্প বলা হয়।
• প্রতিটি বিকল্পের সাথে একটি জটিল সংখ্যা যুক্ত থাকে, যাকে বিস্তার বলা হয়।

ধরা যাক, আপনি পূর্বে করা কোনো পরিমাপের ফলাফলের ওপর ভিত্তি করে পরবর্তী একটি পরিমাপের সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাব্যতা গণনা করতে চান। এজন্য আপনাকে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে:

• এই মধ্যবর্তী সময়ে করা যেতে পারে এমন যেকোনো পরিমাপের অনুক্রম বেছে নিন।
• প্রতিটি বিকল্পের জন্য একটি বিস্তার নির্ধারণ করুন।
• এরপর নিচের যেকোনো একটি নিয়ম প্রয়োগ করুন:

নিয়ম এ: যদি মধ্যবর্তী পরিমাপগুলো করা হয় (অথবা অন্য কোনো পরিমাপ থেকে যদি অনুমান করা সম্ভব হয় যে পরিমাপগুলো করা হলে কী ফলাফল পাওয়া যেত), তবে প্রথমে প্রতিটি বিকল্পের বিস্তারের পরম মানকে বর্গ করতে হবে এবং তারপর সেই মানগুলো যোগ করতে হবে।

নিয়ম বি: যদি মধ্যবর্তী পরিমাপগুলো করা না হয় (এবং অন্য কোনো পরিমাপ থেকেও যদি তাদের ফলাফল অনুমান করা সম্ভব না হয়), তবে প্রথমে বিকল্পগুলোর সব বিস্তার যোগ করতে হবে এবং তারপর সেই যোগফলের পরম মানকে বর্গ করতে হবে।

পরবর্তী পরিচ্ছেদগুলোতে আমরা বিভিন্ন পরীক্ষামূলক ব্যবস্থার ক্ষেত্রে এই নিয়মগুলোর প্রভাব আলোচনা করব। একই সাথে এগুলোর উৎপত্তি বা অস্তিত্বের কারণ (raison d'être) নিয়েও চিন্তা করব। এখানে আমরা $\psi (x)$-এর জন্য বর্নের সম্ভাব্যতাভিত্তিক ব্যাখ্যার সাপেক্ষে $\bar{\psi }(k)$-এর ব্যাখ্যা নির্ধারণ করতে 'নিয়ম বি' ব্যবহার করব।

তথাকথিত "অবিচ্ছিন্ন স্বাভাবিকীকরণ" প্রক্রিয়ায়, সুনির্দিষ্ট ভরবেগ $\hslash k^{\prime }$ বিশিষ্ট একটি কণার অবাস্তব বা অবৌত সীমাকে নিচের তরঙ্গ ফাংশনের সাথে যুক্ত করা হয়:

${\psi }_{k^{\prime }}(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \delta (k-k^{\prime })e^{i[kx-\omega (k)t]}dk=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i[k^{\prime }x-\omega (k^{\prime })t]}.$

অতএব আমরা লিখতে পারি: $\psi (x,t)=\int \bar{\psi }(k){\psi }_k(x,t)dk.$

এখানে, $\bar{\psi }(k)$ হলো অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট একটি ভরবেগ পরিমাপের ফলাফল $\hslash k$ পাওয়ার বিস্তার। আবার, $\hslash k$ মানের একটি সুনির্দিষ্ট ভরবেগ পরিমাপের পর ($t$ সময়ে) সম্পাদিত অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট অবস্থান পরিমাপের ফলাফল $x$ পাওয়ার বিস্তার হলো ${\psi }_k(x,t)$। আর $t$ সময়ে সম্পাদিত অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট অবস্থান পরিমাপের মাধ্যমে $x$ পাওয়ার বিস্তার হলো $\psi (x,t)$।

সুতরাং পূর্ববর্তী সমীকরণটি থেকে বোঝা যায় যে, $t$ সময়ে $x$ পাওয়ার বিস্তার হলো নিচের দুটি বিষয়ের গুণফল:

1. $\hslash k$ ফলাফল পাওয়ার বিস্তার এবং
2. $\hslash k$ মানের ভরবেগ পরিমাপের পর ($t$ সময়ে) $x$ ফলাফল পাওয়ার বিস্তার।

এই গুণফলকে $k$-এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের ওপর যোগ (সমাকলন) করা হয়েছে।

'নিয়ম এ' দ্বারা নির্ধারিত শর্তগুলোর অধীনে আমরা দেখতে পেতাম যে, $t$ সময়ে $x$ পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো নিচের দুটি বিষয়ের গুণফল:

1. $\hslash k$ ফলাফল পাওয়ার সম্ভাব্যতা এবং
2. $\hslash k$ মানের ভরবেগ পরিমাপের পর ($t$ সময়ে) $x$ ফলাফল পাওয়ার সম্ভাব্যতা।

এই গুণফলকে $k$-এর সমস্ত মানের ওপর যোগ করা হয়।

প্রচলিত সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভিত্তিতে আমরা এই দ্বিতীয় বিষয়টিই আশা করি। কিন্তু এটি যদি 'নিয়ম এ'-এর শর্তাধীনে সত্য হয়, তবে 'নিয়ম বি'-এর শর্তাধীনে "সম্ভাব্যতা" শব্দের জায়গায় "বিস্তার" বসালেও একই কথা প্রযোজ্য হবে। অতএব, যেহেতু ${\psi }_k(x,t)$ এবং $\psi (x,t)$ হলো অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট অবস্থান পরিমাপে $x$ ফলাফল পাওয়ার বিস্তার, তাই $\bar{\psi }(k)$ হলো অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট ভরবেগ পরিমাপে $\hslash k$ ফলাফল পাওয়ার বিস্তার।

টীকা:

1. যেহেতু 'নিয়ম বি' অনুযায়ী ভরবেগ পরিমাপটি বাস্তবে করা হয়নি, তাই অসীমভাবে সুনির্দিষ্ট কোনো ভরবেগ পরিমাপ করার বাস্তব অসম্ভবতা নিয়ে আমাদের চিন্তিত হওয়ার প্রয়োজন নেই।
2. আমরা যখন $|\psi (x){|}^2$-কে "$x$ ফলাফল পাওয়ার সম্ভাব্যতা" বলি, তখন আসলে বোঝানো হয় যে, বাস্তব সংখ্যার রেখার যেকোনো ব্যবধি বা উপসেটের ওপর সমাকলিত $|\psi (x){|}^2$-এর মানই হলো ওই ব্যবধি বা উপসেটের মধ্যে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার প্রকৃত সম্ভাব্যতা।