কোয়ান্টাম জগৎ/অনির্দিষ্ট সমাকলন

অনির্দিষ্ট সমাহার

আমরা কীভাবে অসীম ক্ষুদ্র অংশগুলোর ক্ষেত্রফল যোগ করতে পারি? এটা সহজ যদি আমরা এমন একটি গাণিতিক রূপ $F(x)$ জানি যার প্রথম অবকলন $f(x)$। অর্থাৎ যদি $f(x)=\frac{dF}{dx}$ হয়, তাহলে $dF(x)=f(x)dx$ এবং

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}dF(x)=F(b)-F(a).$

আমাদের যা করতে হবে তা হলো $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত $x$ বাড়ার সাথে সাথে $F(x)$ কতটুকু বৃদ্ধি পেয়েছে, অর্থাৎ ক্ষুদ্র পরিমাণ $dF$ গুলোকে যোগ করা। যা আসলে $F(b)$ এবং $F(a)$ এর পার্থক্য।

যে রূপ $F(x)$ এর প্রথম অবকলন $f(x)$, তাকে $f(x)$ এর সমাহার বা প্রতিকলন বলা হয়। যেহেতু $f(x)$ এর সমাহার শুধু একটি ধ্রুবক যোগ করে পরিবর্তিত হতে পারে, তাই এটাকে অনির্দিষ্ট সমাহার বলা হয়। লক্ষ্য করুন, যেখানে $f(x)$ ঋণাত্মক, সেখানে এর রেখা ও $x$ অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল নেতিবাচক ধরা হয়।

যদি আমরা সমাহারকারী $f(x)$ এর কোনো প্রতিকলন না জানি, তাহলে কীভাবে $I={\int }_a^{b}dxf(x)$ হিসাব করব? সাধারণত আমরা সমাহারের তালিকা থেকে খুঁজি। নিজে থেকে করার জন্য যথেষ্ট দক্ষতা প্রয়োজন। উদাহরণ স্বরূপ, আসুন গাউসীয় সমাহার করি:

$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}.$

এই সমাহারের জন্য একজন বিশেষ কৌশল আবিষ্কার করেছেন। (সমস্যা হলো, বিভিন্ন সমাহারের জন্য ভিন্ন কৌশল দরকার হয়।) প্রথমে $I$ এর বর্গ করি:

$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dy{e}^{-y^2/2}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dxdy{e}^{-(x^2+y^2)/2}.$

এটি $x-y$ সমতল জুড়ে সমাহার। আমরা এই সমতলটিকে ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্র $dxdy$ এর বদলে কেন্দ্র থেকে সমকেন্দ্রিক বৃত্তাকার আকারে ব্যাসার্ধ $r$ এবং ক্ষুদ্র প্রস্থ $dr$ এর আকারে ভাগ করতে পারি। যেহেতু এমন রিং এর ক্ষেত্রফল হয় $2\pi rdr$, তাই

$I^2=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}drr{e}^{-r^2/2}.$

এখন শুধু একটি সমাহার বাকী। আমরা জানি $\frac{d{r}^2}{dr}=2r,$ তাই $drr=d(r^2/2)$ এবং পরিবর্তনশীল $w=r^2/2$ গ্রহণ করি:

$I^2=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}d\left(r^2/2\right)e^{-r^2/2}=2\pi {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}dw{e}^{-w}.$

আমরা জানি $e^{-w}$ এর প্রতিকলন হলো $-e^{-w}$, তাই

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}dw{e}^{-w}=(-e^{-\mathrm{\infty }})-(-e^{-0})=0+1=1.$

অতএব $I^2=2\pi$ এবং

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-x^2/2}=\sqrt{2\pi }.$

বিশ্বাস করুন বা না করুন, তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের অনেক গবেষণায় এই মৌলিক গাউসীয় সমাহারের বিভিন্ন রূপ এবং বিস্তারিত নিয়ে কাজ করা হয়।

একটি রূপ পাওয়া যায় যখন আমরা $\sqrt{a}x$ কে $x$ এর জায়গায় বসাই:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-a{x}^2/2}=\sqrt{2\pi /a}.$

আরেকটি রূপ পাওয়া যায় এই সমীকরণের দুই পাশে $a$ কে পরিবর্তনশীল ধরে তার উপর ডেরিভেটিভ নিয়ে:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-a{x}^2/2}{x}^2=\sqrt{2\pi /a^3}.$