কোয়ান্টাম জগৎ/আপেক্ষিকতা/লরেন্‌জ রূপান্তর

লোরেন্টজ রূপান্তর (সাধারণ রূপ)

আমরা একটি জড় ফ্রেমের $t$ এবং $𝐫=(x,y,z)$ স্থানাঙ্কগুলিকে অন্য একটি জড় ফ্রেমের $t^{\prime }$ এবং ${𝐫}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে চাই${ℱ}_2.$ আমরা ধরে নেব যে দুটি ফ্রেম নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে:

1. তাদের স্থানাঙ্কের উৎপত্তি মিলে যায় ($t^{\prime }=0,{𝐫}^{\prime }=0$ একই স্থানাঙ্কের অবস্থান চিহ্নিত করে $t=0,𝐫=0$),
2. তাদের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমান্তরাল, এবং
3. ${ℱ}_2$ <mathcal{F}_1 এর সাপেক্ষে একটি ধ্রুবক বেগে চলে।</math>

এই মুহুর্তে আমরা যা জানি তা হল যে ${ℱ}_1$ এ ধ্রুবক বেগে যা কিছু চলে তা ${ℱ}_2.$ এও তাই করবে।এর ফলে $t,𝐫\to t^{\prime },{𝐫}^{\prime }$ এ সরল রেখাগুলিকে ${ℱ}_1$ এ সরল রেখাগুলিকে ${ℱ}_2.$ এর সরল রেখাগুলিতে রূপান্তরিত করে। বিশেষ করে ${ℱ}_1,$ এর সমন্বয় রেখাগুলিকে সরল রেখাগুলিতে ম্যাপ করা হবে। ${ℱ}_2.$ -এ রেখা।এটি আমাদের বলে যে ড্যাশযুক্ত স্থানাঙ্কগুলি হল অপ্রকাশিত স্থানাঙ্কগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ,

$t^{\prime }=At+𝐁\cdot 𝐫,{𝐫}^{\prime }=C𝐫+(𝐃\cdot 𝐫)𝐰+t.$

আমরা আরও জানি যে ${ℱ}_1$ থেকে <mathcal{F}_2</math>-এ রূপান্তর কেবল $𝐰,$ এর উপর নির্ভর করতে পারে,</math> তাই $A,$\mathbf{B},</math> $C,$ এবং $𝐃$ হল পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} এর ফাংশন।} আমাদের কাজ হল এই ফাংশনগুলি খুঁজে বের করা। $A$ এবং $C$ আসলে শুধুমাত্র পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle w=|\mathbf{w}|={}_+\sqrt{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}} এর উপর নির্ভর করতে পারে,} তাই $A=a(w)$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle C=c(w)।} শুধুমাত্র $𝐰$ এর উপর নির্ভর করে একটি ভেক্টর ফাংশন পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} এর সমান্তরাল (অথবা প্রতিসমান্তরাল) হতে হবে,} এবং এর মান পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle w এর একটি ফাংশন হতে হবে।} তাই আমরা $𝐁=b(w)𝐰,$ লিখতে পারি।</math> $=e(w)𝐰.$ (এক মুহূর্তের মধ্যে স্পষ্ট হয়ে যাবে কেন $w^{-2}$ উৎপাদকটিকে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{D} এর সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।} ) সুতরাং,

$t^{\prime }=a(w)t+b(w)𝐰\cdot 𝐫,{𝐫}^{\prime }=c(w)𝐫+d(w)\frac{𝐰\cdot 𝐫}{w^2}𝐰+e(w)𝐰t.$

আসুন $𝐫$ কে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} t এর সমান সেট করি।} এর অর্থ হল ${𝐫}^{\prime }=(c+d+e)𝐰t.$ যেহেতু আমরা স্থির অবস্থায় থাকা কোনও বস্তুর গতিপথের দিকে তাকাচ্ছি,</math> ${ℱ}_2,$ অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে। অতএব,

c+d+e=0.</math>

আসুন বিপরীত রূপান্তরটি লিখি। যেহেতু \mathcal{F}_1</math> বেগে $-𝐰$ গতিতে চলে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_2 এর সাপেক্ষে,} এটি

$t=a(w)t^{\prime }-b(w)𝐰\cdot {𝐫}^{\prime },𝐫=c(w){𝐫}^{\prime }+d(w)\frac{𝐰\cdot {𝐫}^{\prime }}{w^2}𝐰-e(w)𝐰t^{\prime }.$

আমাদের জীবন সহজ করার জন্য, আমরা এখন স্থান অক্ষগুলি বেছে নিয়েছি যাতে $𝐰=(w,0,0).$ তারপর উপরের দুটি (পারস্পরিকভাবে বিপরীত) রূপান্তরগুলি সরলীকৃত হয়

$t^{\prime }=at+bwx,x^{\prime }=cx+dx+ewt,y^{\prime }=cy,z^{\prime }=cz,$

$t=a{t}^{\prime }-bw{x}^{\prime },x=c{x}^{\prime }+d{x}^{\prime }-ew{t}^{\prime },y=c{y}^{\prime },z=c{z}^{\prime }.$

প্রথম রূপান্তরটিকে দ্বিতীয়টিতে প্লাগ করে, আমরা প্রাপ্ত করুন

$t=a(at+bwx)-bw(cx+dx+ewt)=(a^2-be{w}^2)t+(abw-bcw-bdw)x,$

$x=c(cx+dx+ewt)+d(cx+dx+ewt)-ew(at+bwx)$

      $=(c^2+2cd+d^2-be{w}^2)x+(cew+dew-aew)t,$

$y=c^{2}y,$

$z=c^{2}z.$

এই সমীকরণগুলির প্রথমটি আমাদের বলে যে

$a^2-be{w}^2=1$ $abw-bcw-bdw=0.$

দ্বিতীয়টি আমাদের বলে যে

$c^2+2cd+d^2-be{w}^2=1$  এবং  $cew+dew-aew=0.$

abw-bcw-bdw=0</math> এর সাথে $c+d+e=0$ (এবং $w\ne 0$) একত্রিত করলে, আমরা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle b(a+e)=0 পাই।}

$c+d+e=0$ ব্যবহার করে d বাদ দিলে, আমরা $e^2-be{w}^2=1$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle e(a+e)=0 পাই।}

যেহেতু শেষ দুটি সমীকরণের প্রথমটি বোঝায় যে $e\ne 0,$ আমরা দ্বিতীয়টি থেকে সংগ্রহ করি যে $e=-a.$

$y=c^{2}y$ আমাদের বলে যে $c^2=1.$ $c$ <প্রকৃতপক্ষে, <1> এর সমান হতে হবে, কারণ আমরা ধরে নিয়েছি যে দুটি ফ্রেমের স্থান অক্ষ সমান্তরাল (প্রতিসমান্তরাল নয়)।

$c=1$ এবং $e=-a,$ c+d+e=0</math> দিয়ে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle d=a-1 পাওয়া যায়।} $e^2-be{w}^2=1$ সমাধান করার পরে $b,$ এর জন্য $b,c,d,$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle এর জন্য <math> এক্সপ্রেশন অবশিষ্ট থাকে যা কেবলমাত্র <math>a} এর উপর নির্ভর করে:

$b=\frac{1-a^2}{a{w}^2},c=1,d=a-1,e=-a.$

বেশ উন্নতি!

অবশিষ্ট ফাংশন $a(w)$ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা একটি তৃতীয় জড়তামূলক ফ্রেম বিবেচনা করি${ℱ}_3$, যা$𝐯=(v,0,0)$ বেগে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_2 এর সাপেক্ষে চলে। } ${ℱ}_1$ থেকে <mathcal{F}_2</math> এ রূপান্তর একত্রিত করে

$t^{\prime }=a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x,x^{\prime }=a(w)x-a(w)wt,$

${ℱ}_2$ থেকে ${ℱ}_3$ এ রূপান্তরের সাথে

$t^{″}=a(v)t^{\prime }+\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}{x}^{\prime },x^{″}=a(v)x^{\prime }-a(v)v{t}^{\prime },$

আমরা পাই ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_3$ এ রূপান্তর:

$t^{″}=a(v)[a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x]+\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}[a(w)x-a(w)wt]$

     $=\underset{\star }{\underbrace{[a(v)a(w)-\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}a(w)w]}}t+[\dots ]x,$

$x^{″}=a(v)[a(w)x-a(w)wt]-a(v)v[a(w)t+\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}x]$

      $=\underset{\star \star }{\underbrace{[a(v)a(w)-a(v)v\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}]}}x-[\dots ]t.$

\mathcal{F}_1</math> থেকে সরাসরি রূপান্তর ${ℱ}_3$ এর রূপ অবশ্যই ${ℱ}_1$ থেকে ${ℱ}_2$ এবং ${ℱ}_2$ থেকে ${ℱ}_3$ এ রূপান্তরের মতো একই হতে হবে, যথা

$t^{″}=\underset{\star }{\underbrace{a(u)}}t+\frac{1-a^2(u)}{a(u)u}x,x^{″}=\underset{\star \star }{\underbrace{a(u)}}x-a(u)ut,$

যেখানে $u$ হল ${ℱ}_3$ এর গতি পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_1 এর তুলনা।} এর তুলনা তারা দ্বারা চিহ্নিত সহগগুলি $a(u)$ এর জন্য দুটি রাশি তৈরি করে, যা অবশ্যই সমান হতে হবে:

$a(v)a(w)-\frac{1-a^2(v)}{a(v)v}a(w)w=a(v)a(w)-a(v)v\frac{1-a^2(w)}{a(w)w}.$

এটি $[1-a^2(v)]a^2(w)w^2=[1-a^2(w)]a^2(v)v^2,$ অনুসরণ করে এবং এটি আমাদের বলে যে

$K=\frac{1-a^2(w)}{a^2(w)w^2}=\frac{1-a^2(v)}{a^2(v)v^2}$

একটি সর্বজনীন ধ্রুবক। $a(w)$ এর প্রথম সমীকরণ সমাধান করলে আমরা পাবো

$a(w)=1/\sqrt{1+K{w}^2}.$

এটি আমাদের রূপান্তরটি কাস্ট করতে সাহায্য করে

$t^{\prime }=at+bwx,x^{\prime }=cx+dx+ewt,y^{\prime }=cy,z^{\prime }=cz,$

ফর্মে

$t^{\prime }=\frac{t+Kwx}{\sqrt{1+K{w}^2}},x^{\prime }=\frac{x-wt}{\sqrt{1+K{w}^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.$

ট্রাম্পেটস, দয়া করে! আমরা পাঁচটি অজানা ফাংশনকে একটি একক ধ্রুবকে কমাতে সক্ষম হয়েছি।