কোয়ান্টাম জগৎ/ক্যালকুলাস

অন্তরকলন (ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস): একটি সংক্ষিপ্ত পরিচিতি

অতিক্ষুদ্র মান থেকে একটি নির্দিষ্ট ও সীমিত সংখ্যা পাওয়ার আরেকটি উপায় হলো একটিকে আরেকটি দিয়ে ভাগ করা।

আমরা ধরে নেব যে এখানে ব্যবহৃত প্রতিটি ফাংশন ভালো আচরণ করে, অর্থাৎ যেসব ফাংশনের গ্রাফ টানা যায় পেন্সিল না তুলেই, এবং তাদের প্রত্যেকটি ডেরিভেটিভ (উপজাত) ফাংশনের ক্ষেত্রেও এটি সম্ভব। তাহলে, ফাংশন বলতে কী বোঝায়? আর ডেরিভেটিভই বা কী?

একটি ফাংশন $f(x)$ হলো একটি মেশিনের মতো, যার একটি ইনপুট ও একটি আউটপুট আছে। আপনি এতে $x$ নামক একটি সংখ্যা দিলে সেটি $f(x)$ নামক আরেকটি সংখ্যা বের করে দেয়। অনেকে $f(x)$ কে সেই সংখ্যাই ভাবে যা $x$ প্রবেশ করালে পাওয়া যায়।

ডেরিভেটিভ $f^{\prime }(x)$ হলো এমন একটি ফাংশন যা বলে দেয়, $x$ এর মান সামান্য বাড়ালে $f(x)$ কতটা পরিবর্তিত হয় (ধরে নিচ্ছি যে $x$ এর প্রাথমিক মান $x_0$)। যখন $\mathrm{\Delta }x$ এবং $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ দুইটিই শূন্যের দিকে যায়, তখন আমরা পাই:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{df}{dx}(x_0).$

উপরের চিত্রে এই সীমা বোঝানো হয়েছে। $\mathrm{\Delta }f/\mathrm{\Delta }x$ হলো সোজা রেখার ঢাল, যা দুইটি কালো বিন্দুর (বৃত্ত) মধ্যে টানা হয়েছে। এই রেখা যে কোণে $x$ অক্ষের সাথে থাকে সেটি হল ঢাল। $\mathrm{\Delta }x$ ছোট হতে থাকলে $x+\mathrm{\Delta }x$ বিন্দুটি $f(x)$ এর গ্রাফ বরাবর $x$ বিন্দুর দিকে চলে আসে এবং রেখাটির ঢাল বাড়ে। $\mathrm{\Delta }x\to 0$ হলে রেখাটি গ্রাফের স্পর্শক হয়ে যায়।

অতএব, $f(x)$ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ $f^{\prime }(x)$ হলো প্রতিটি $x$ বিন্দুতে $f(x)$ এর ঢাল। কোনো ফাংশনকে ডিফারেনশিয়েট করার মানে হলো তার ডেরিভেটিভ বের করা। $f$ এর ডেরিভেটিভ $f^{\prime }$ এবং $f^{\prime }$ এর ডেরিভেটিভ $f^{″}=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$ – এইভাবে পরপর ডেরিভেটিভ নেওয়া যায়।

যদি $a$ একটি সংখ্যা হয় এবং $f$ ও $g$ $x$ এর উপর নির্ভরশীল ফাংশন হয়, তবে:

$\frac{d(af)}{dx}=a\frac{df}{dx}$  এবং  $\frac{d(f+g)}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}.$

দুইটি ফাংশনের গুণফল $e=fg$ এর ডেরিভেটিভ বের করাও সম্ভব। ধরুন $f$ এবং $g$ হলো একটি আয়তক্ষেত্রের উল্লম্ব ও অনুভূমিক পাশ, তাহলে ক্ষেত্রফল $e$ হয়। $x$ সামান্য বাড়ালে ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হবে তিনটি ছোট আয়তক্ষেত্রের সমষ্টি:

তাহলে,

$\mathrm{\Delta }e=f(\mathrm{\Delta }g)+(\mathrm{\Delta }f)g+(\mathrm{\Delta }f)(\mathrm{\Delta }g)$

এবং,

$\frac{\mathrm{\Delta }e}{\mathrm{\Delta }x}=f\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}g+\frac{\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}.$

$\mathrm{\Delta }x\to 0$ নিলে, শেষের অংশটি শূন্যের দিকে যাবে এবং:

$e^{\prime }=(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+f^{\prime }g.$

এই নিয়মটি একাধিক ফাংশনের গুণফলের জন্যও প্রযোজ্য। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে:

$(f^n{)}^{\prime }=f^{n-1}{f}^{\prime }+f^{n-2}{f}^{\prime }f+f^{n-3}{f}^{\prime }{f}^2+\cdots +f^{\prime }{f}^{n-1}=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }.$

এখানে দুটি সমান চিহ্নের মাঝে $n$ টি একরকম পদ রয়েছে। যদি $f(x)=x$ হয়, তাহলে:

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}.$

এখন ধরুন $g$ হলো $f$ এর একটি ফাংশন এবং $f$ হলো $x$ এর একটি ফাংশন। তাহলে $x$ এর সামান্য পরিবর্তনে $f$ পরিবর্তিত হবে $\mathrm{\Delta }f\approx \frac{df}{dx}\mathrm{\Delta }x$ এবং $g$ পরিবর্তিত হবে $\mathrm{\Delta }g\approx \frac{dg}{df}\mathrm{\Delta }f$। তাই,

$\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}\approx \frac{dg}{df}\frac{df}{dx}$

এবং $\mathrm{\Delta }x\to 0$ নিলে:

$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{df}\frac{df}{dx}.$

---

আমরা পেয়েছি $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ যেখানে $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (২ বা তার বেশি)। এটি $n=1$ এবং $n=0$ এর জন্যও সঠিক।

1. দেখাও যে এটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ($n$) জন্যও সঠিক। ইঙ্গিত: $(x^n{x}^{-n}{)}^{\prime }$ ব্যবহার করো।
2. দেখাও যে $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=1/(2\sqrt{x})$। ইঙ্গিত: $(\sqrt{x}\sqrt{x}{)}^{\prime }$ হিসাব করো।
3. দেখাও যে $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ তখনও ঠিক থাকে যখন $n=1/m$ এবং $m$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
4. দেখাও যে এই নিয়মটি $n$ যদি একটি যৌক্তিক সংখ্যা হয়, তবু ঠিক থাকে। ইঙ্গিত: $\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{df}\frac{df}{dx}$ ব্যবহার করো।

প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা একটি যৌক্তিক সংখ্যার ক্রমের সীমা, তাই আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ নিয়মটি সব বাস্তব সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য।