কোয়ান্টাম জগৎ/ক্ষেত্র

ক্ষেত্রসমূহ

আপনি যেমনভাবে মনে রাখবেন, একটি ফাংশন হলো একটি যন্ত্র যা একটি সংখ্যা গ্রহণ করে এবং একটি সংখ্যা ফেরত দেয়। একটি ক্ষেত্র হলো একটি ফাংশন যা একটি বিন্দুর তিনটি স্থানাঙ্ক বা একটি স্থানকাল বিন্দুর চারটি স্থানাঙ্ক গ্রহণ করে এবং একটি স্কেলার, একটি ভেক্টর, বা একটি টেনসর (স্থানিক বা ৪-মাত্রিক স্থানকাল টেনসর) ফেরত দেয়।

গ্রেডিয়েন্ট

ধরুন একটি বক্ররেখা $𝒞$ আছে ৩-মাত্রিক স্থানে। যদি আমরা এই বক্ররেখার বিন্দুগুলোকে কোনো পরামিতি $\lambda$ দ্বারা চিহ্নিত করি, তাহলে $𝒞$ কে উপস্থাপন করা যায় একটি ৩-ভেক্টর ফাংশন $𝐫(\lambda )$ দ্বারা। আমরা জানতে চাই একটি স্কেলার ক্ষেত্র $f(x,y,z)$ এর মান কতটা পরিবর্তিত হয় যখন আমরা $𝒞$ এর $𝐫(\lambda )$ বিন্দু থেকে $𝐫(\lambda +d\lambda )$ বিন্দুর দিকে যাই। $f$ এর পরিবর্তন নির্ভর করে $𝐫$ এর স্থানাঙ্কগুলো $(x,y,z)$ কতটা পরিবর্তিত হয়েছে, যা নিজেরাও $\lambda$ এর ফাংশন। স্থানাঙ্কগুলোর পরিবর্তন দেওয়া হলো:

${(}^{\ast })dx=\frac{dx}{d\lambda }d\lambda ,dy=\frac{dy}{d\lambda }d\lambda ,dz=\frac{dz}{d\lambda }d\lambda ,$

অন্যদিকে $f$ এর পরিবর্তন তিনটি পরিবর্তনের সমষ্টি:

${(}^{\ast }{}^{\ast })df=\frac{df}{dx}dx+\frac{df}{dy}dy+\frac{df}{dz}dz.$

প্রথম পদটি বলছে $(x,y,z)$ থেকে $(x+dx,y,z)$ এ গেলে $f$ কতটা পরিবর্তিত হয়, দ্বিতীয়টি $(x,y+dy,z)$ এর জন্য এবং তৃতীয়টি $(x,y,z+dz)$ এর জন্য।

আমরা কি $f$ এর পরিবর্তনগুলোর সমষ্টি হিসেব করতে পারি যখন আমরা $(x,y,z)$ থেকে $(x+dx,y,z)$, তারপর $(x+dx,y+dy,z)$ এবং এরপর $(x+dx,y+dy,z+dz)$ এর দিকে যাই? আসুন গণনা করি।

$\frac{\partial f(x+dx,y,z)}{\partial y}=\frac{\partial [f(x,y,z)+\frac{\partial f}{\partial x}dx]}{\partial y}=\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}dx.$

যদি $dx\to 0$ হয়, তাহলে শেষ পদটি অদৃশ্য হয়। তাই আমরা $\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}$ ব্যবহার করতে পারি। (*) কে (**) তে বসালে পাই:

$df=(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{d\lambda }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{d\lambda }+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{d\lambda })d\lambda .$

বন্ধনীতে থাকা অভিব্যক্তিটি দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল হিসাবে চিন্তা করুন:

• স্কেলার ক্ষেত্র $f$ এর গ্রেডিয়েন্ট $\frac{\partial f}{\partial 𝐫}$, যার উপাদান $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$ — এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র,
• ভেক্টর $\frac{d𝐫}{d\lambda }$ যা $𝒞$ এর স্পর্শক।

যদি $\lambda$ হয় সময় যেখানে একটি বস্তু $𝒞$ বরাবর চলমান, তবে $\frac{d𝐫}{d\lambda }$ এর মান হলো বস্তুর বেগ।

$\frac{\partial }{\partial 𝐫}$ একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা $f(𝐫)$ ফাংশন গ্রহণ করে এবং তার গ্রেডিয়েন্ট $\frac{\partial f}{\partial 𝐫}$ ফেরত দেয়।

$f$ এর গ্রেডিয়েন্ট একটি ইনপুট-আউটপুট যন্ত্র: $d𝐫$ প্রবেশ করালে পাই

$\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\cdot d𝐫=df=f(𝐫+d𝐫)-f(𝐫).$

এই অপারেটর $\frac{\partial }{\partial 𝐫}$ ডট ও ক্রস গুণফলের সাথে ব্যবহৃত হয়।

কার্ল

ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$ এর কার্ল সংজ্ঞায়িত:

$\text{curl}𝐀=\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\widehat{𝐱}+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\widehat{𝐲}+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\widehat{𝐳}.$

এই সংজ্ঞা কী কাজে আসে তা দেখতে, $\oint 𝐀\cdot d𝐫$ লাইন ইন্টিগ্রাল হিসাব করি একটি বদ্ধ বক্ররেখা $𝒞$ বরাবর। এটি সার্কুলেশন নামে পরিচিত।

ধরা যাক একটি অতিক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রের সীমা, যার কোণ $A=(0,0,0),B=(0,dy,0),C=(0,dy,dz),D=(0,0,dz)$।

চার পাশে অবদান:

• $\overline{AB}:A_y(0,dy/2,0)dy,$
• $\overline{BC}:A_z(0,dy,dz/2)dz=[A_z(0,0,dz/2)+\frac{\partial A_z}{\partial y}dy]dz,$
• $\overline{CD}:-A_y(0,dy/2,dz)dy=-[A_y(0,dy/2,0)+\frac{\partial A_y}{\partial z}dz]dy,$
• $\overline{DA}:-A_z(0,0,dz/2)dz.$

সব মিলিয়ে:

${(}^{\ast }{}^{\ast }{}^{\ast })[\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}]dydz=(\text{curl}𝐀{)}_{x}dydz.$

এই আয়তক্ষেত্রকে উপস্থাপন করা যায় একটি ভেক্টর $d𝜮$ দ্বারা যার মান $d\mathrm{\Sigma }=dydz$ এবং যা আয়তক্ষেত্রের লম্ব। এটি ব্যবহার করে পাই $\text{curl}𝐀\cdot d𝜮$।

এইভাবে যদি কোনো পৃষ্ঠ $\mathrm{\Sigma }$ কে ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রে ভাগ করে তাদের সার্কুলেশন যোগ করি, তবে পাই ${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮$।

আশেপাশের আয়তক্ষেত্রের সাধারণ পার্শ্বদ্বয়ের অবদান বাতিল হয়ে যায়, কেবল সীমা $\partial \mathrm{\Sigma }$ এর অবদান থাকে।

অতএব,

${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮.$

এটি স্টোকসের উপপাদ্য।

যদি $𝐀$ হয় একটি স্কেলার ক্ষেত্র $f$ এর গ্রেডিয়েন্ট, এবং $𝒞$ হয় $𝐀$ থেকে $𝐛$ অব্দি একটি পথ, তাহলে:

${\int }_{𝒞}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{𝒞}df=f(𝐛)-f(𝐀).$

একই প্রান্তযুক্ত যেকোনো পথের জন্য এই লাইন ইন্টিগ্রাল সমান হয়। $𝐛=𝐀$ হলে $𝒞$ একটি লুপ এবং ইন্টিগ্রাল শূন্য। অতএব, গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সর্বদা শূন্য:

${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\left(\text{curl}\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\right)\cdot d𝜮={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\frac{\partial f}{\partial 𝐫}\cdot d𝐫=0.$

ডাইভারজেন্স

ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐀$ এর ডাইভারজেন্স:

$\text{div}𝐀=\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot 𝐀=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.$

একটি অতিক্ষুদ্র আয়তাকার ঘন আয়তনের মধ্যে $d^{3}r=dxdydz$ এর মধ্য দিয়ে $𝐀$ এর নিট প্রবাহ:

$A_x(x+dx,y,z)dydz-A_x(x,y,z)dydz=\frac{\partial A_x}{\partial x}dxdydz.$

বাকি দুই দিকেও একইভাবে হিসেব করে মোট নিট প্রবাহ পাই:

$[\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}]dxdydz=\text{div}𝐀d^{3}r.$

যদি অঞ্চল $R$ কে ছোট ছোট ঘন আয়তনে ভাঙি, তাহলে মোট প্রবাহ: ${\int }_R\text{div}𝐀d^{3}r.$

অতএব:

${\int }_{\partial R}𝐀\cdot d𝜮={\int }_R\text{div}𝐀d^{3}r.$

এটি গাউসের সূত্র। সীমার উপরেই নির্ভর করে পুরো মান।

যদি $\mathrm{\Sigma }$ হয় একটি বন্ধ পৃষ্ঠ, তবে $\partial \mathrm{\Sigma }=0$ এবং সেক্ষেত্রে:

${\oint }_{\partial \partial R}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{\partial R}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮={\int }_R\text{div curl}𝐀d^{3}r.$

একটি সীমানার আর কোনো সীমানা নেই: $\partial \partial =0$।

অতএব:

$\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times \frac{\partial f}{\partial 𝐫}=0,\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀=0.$

কিছু উপকারী পরিচিতি

$d𝐫\times (\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀)=\frac{\partial }{\partial 𝐫}(𝐀\cdot d𝐫)-(d𝐫\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫})𝐀$