কোয়ান্টাম জগৎ/টেইলর সিরিজ

টেইলর সিরিজ

একটি সু-চলনশীল ফাংশনকে একটি ঘাত-সিরিজে রূপান্তর করা যায়। অর্থাৎ, সকল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য কিছু বাস্তব সংখ্যা $a_k$ বিদ্যমান যাতে

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$

চলুন $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ব্যবহার করে প্রথম চারটি ডেরিভেটিভ গণনা করি:

$f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+\cdots$

$f^{″}(x)=2a_2+2\cdot 3a_{3}x+3\cdot 4a_4{x}^2+4\cdot 5a_5{x}^3+\cdots$

$f^{‴}(x)=2\cdot 3a_3+2\cdot 3\cdot 4a_{4}x+3\cdot 4\cdot 5a_5{x}^2+\cdots$

$f^{⁗}(x)=2\cdot 3\cdot 4a_4+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5a_{5}x+\cdots$

$x$-এর মান শূন্য বসালে আমরা পাই

$f(0)=a_0,f^{\prime }(0)=a_1,f^{″}(0)=2a_2,f^{‴}(0)=2\times 3a_3,f^{⁗}(0)=2\times 3\times 4a_4.$

$f^{(n)}(x)$ দ্বারা বোঝানো হয় $f(x)$-এর $n$-তম ডেরিভেটিভ। আমরা $f^{(0)}(x)=f(x)$ লিখতে পারি — $f(x)$-কে $f(x)$-এর "শূন্যতম ডেরিভেটিভ" হিসেবে ভাবা যায়। এভাবে আমরা একটি সাধারণ ফলাফলে পৌঁছাই $f^{(k)}(0)=k!a_k,$ যেখানে ফ্যাক্টোরিয়াল $k!$ কে সংজ্ঞায়িত করা হয় $k=0$ এবং $k=1$-এর জন্য ১ হিসেবে, এবং $k>1$ এর জন্য $n\le k$ সব প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে। $x=0$-এ $f(x)$ এবং এর ডেরিভেটিভ সমূহ ব্যবহার করে $a_k$ নির্ণয় করলে আমরা পাই:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{″}(0)\frac{x^2}{2!}+f^{‴}(0)\frac{x^3}{3!}+\cdots$

এটি হল $f(x)$-এর টেইলর সিরিজ।

একটি চমৎকার ফলাফল হলো: আপনি যদি কোনো সু-চলনশীল ফাংশন $f(x)$ এবং $x=0$ বিন্দুতে তার সকল ডেরিভেটিভের মান জানেন, তবে আপনি $x$-এর যেকোনো মানে $f(x)$-এর মান নির্ধারণ করতে পারেন। উপরন্তু, $x=0$ কোনো বিশেষ বিন্দু নয়, তাই $x_0$ যেকোনো বিন্দু হতে পারে যেখানে $f(x)$ এবং তার সকল ডেরিভেটিভের মান জানা থাকলে আমরা পাই:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$