কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/সমস্যা

এই পৃষ্ঠার উদ্দেশ্য হল কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলো থেকে উদ্ভূত জটিল গাণিতিক সমস্যাগুলো মোকাবেলার কৌশল দেখানো। এটি আপনার হোমওয়ার্কের উত্তর দেবে না, তবে আপনাকে সমস্যা থেকে বেরিয়ে আসতে সাহায্য করতে পারে।

নরমালাইজেশন

যখন একটি প্রশ্নে আপনাকে একটি ওয়েভফাংশন নরমালাইজ করতে বলা হয়, তখন তারা বোঝায় এমন একটি সহগের মান নির্ধারণ করা যাতে:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx=1$

উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন বিবেচনা করুন:

$\mathrm{\Psi }(x,t)=A\beta (x,t)$

A খুঁজে বের করতে, প্রথমে আপনাকে ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$-এর পরম মান নির্ধারণ করতে হবে। যেহেতু ওয়েভফাংশনে প্রায়ই জটিল অংশ থাকে, তাই ওয়েভফাংশনকে বর্গ করা যথেষ্ট নয়। পরিবর্তে আপনাকে এটিকে তার জটিল কনজুগেট দিয়ে গুণ করতে হবে। জটিল সংখ্যার কনজুগেট নেওয়ার উপায় শিখতে, জটিল সংখ্যা পৃষ্ঠাটি দেখুন।

${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2=A^2\beta (x,t)\beta (x,t{)}^{\star }$

A-এর জন্য সমাধান করতে পুনর্বিন্যাস করলে:

$A=1/\sqrt{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\beta (x,t)\beta (x,t{)}^{\star }dx}$

লক্ষ করুন, যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের সীমা অসীম, তাই ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$ অবশ্যই x অসীম বা ঋণাত্মক অসীমের দিকে যাওয়ার সাথে শূন্যের দিকে যাবে। অন্যথায়, কণাটির যেকোনো জায়গায় থাকার সম্ভাবনা ১-এর বেশি হবে, এবং ফাংশনটি নরমালাইজযোগ্য হবে না। এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যেখানে এই শর্তগুলো পূরণ হয়।

গাউসিয়ান নিয়ে কাজ করা

সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে একটি হল যখন ${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$ এর আকার $A^2{e}^{-\alpha x^2}$। এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি ইন্টিগ্রাল পান:

$A^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx=1$

কিন্তু এর অর্থ হল $\int e^{x^2}dx$ ইন্টিগ্রেট করা, যা একটি অসম্ভব ইন্টিগ্রাল। ম্যাথেম্যাটিকা এবং ম্যাপেলে এটি ইন্টিগ্রেট করলে আপনি জটিল ফাংশনের একটি গুচ্ছ পাবেন যা সহজে পরিচালনা করা যায় না। এটিকে $\int e^{2x}dx$-এ রূপান্তর করার চেষ্টা করা সঠিক পদ্ধতি নয়, মনে রাখবেন $\int e^{x^2}$ এবং $\int (e^x{)}^2$-এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছে।

তবে, যদিও ইন্টিগ্রেশনের সীমা অসীম এবং ঋণাত্মক অসীমে, ইন্টিগ্রালটি এখনও নির্দিষ্ট, এবং এর একটি সমাধান রয়েছে।
একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন: $I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx$।
ফাংশনটিকে বর্গ করুন: $I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx\ast {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx$
একটি ইন্টিগ্রালে ভেরিয়েবল পরিবর্তন করুন, $x=y$, পেতে: $I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx\ast {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha y^2}dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha (x^2+y^2)}dxdy$
পোলার কোঅর্ডিনেটে আরেকটি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করুন (পোলার কোঅর্ডিনেটের পরিচিতির জন্য, ক্যালকুলাস উইকিবুক দেখুন): $x=r\cos (\theta )$, $y=r\sin (\theta )$, $r^2=x^2+y^2$ $I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-\alpha r^2}drd\theta$
যা ইন্টিগ্রেট করার জন্য অনেক সহজ একটি ফর্ম।

কোয়ান্টাম অপারেটর

মৌলিক কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান সমস্যায় সবচেয়ে সাধারণ পাঁচটি কোয়ান্টাম অপারেটর হল: x অপারেটর: $\hat{x}=x$ $x^2$ অপারেটর: $\widehat{x^2}=x^2$ গতিবেগ অপারেটর: $\hat{p}=\hslash /i\mathrm{\nabla }$ গতিবেগ বর্গ অপারেটর: $\widehat{p^2}=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2$ হ্যামিল্টনিয়ান অপারেটর: $\hat{H}=-{\hslash }^2/2m{\mathrm{\nabla }}^2+V$ এই অপারেটরগুলো একটি ওয়েভফাংশনে ব্যবহার করতে, এটিকে ইন্টিগ্রালের মধ্যে স্যান্ডউইচ করুন। উদাহরণস্বরূপ, x-এর গড় মান, যাকে x-এর প্রত্যাশিত মান বা x-এর প্রথম মুহূর্তও বলা হয়, খুঁজে বের করতে নিম্নলিখিত ইন্টিগ্রাল নিন: $<x>={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Psi }\hat{x}{\mathrm{\Psi }}^{\star }dx$

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন

যদি একটি ওয়েভফাংশন মূল বিন্দুর চারপাশে সমান্তরাল এবং কেন্দ্রীভূত হয়, তবে তা জোড় (f(x)=f(-x))। অতএব, x-এর প্রত্যাশিত মান অবশ্যই ০-এ পাওয়া যাবে, কারণ -x অঞ্চলে থাকার সম্ভাবনা x অঞ্চলে থাকার সম্ভাবনার সমান। একটি আরও কঠোর প্রমাণ নিম্নরূপ: ধরুন $y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2$ জোড়। y(x) = x বিজোড় (f(-x)=-f(x))। তাহলে
$y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast x$ একটি বিজোড় ফাংশন (জোড়*বিজোড় = বিজোড়)। তাহলে
${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx$ যেহেতু $y(x)={|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast x$ একটি বিজোড় ফাংশন, ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx$ সুতরাং
${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2\ast xdx=0$ আমরা জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলো ব্যবহার করে আমাদের সুবিধার জন্য <x>-এর গড় মান পরিদর্শনের মাধ্যমে খুঁজে বের করতে পারি।

উপকারী ইন্টিগ্রাল

কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে অনেক পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল সমাধান করতে হয়, এবং এই সাধারণ সমাধানগুলো আপনাকে সেগুলো সমাধানে সাহায্য করতে পারে।

$\int x\sin (ax)dx=(1/a^2)\sin (ax)-(x/a)\cos (ax)$ $\int x\cos (ax)dx=(1/a^2)\cos (ax)-(x/a)\sin (ax)$ ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x/a}dx=n!a^{n+1}$ ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n}{e}^{-x^2/a^2}dx=\sqrt{\pi }\frac{(2n)!}{n!}(\frac{a}{2}{)}^{2n+1}$ ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n+1}{e}^{-x^2/a^2}dx=\sqrt{\pi }{a}^{2n+2}$

ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসও খুব উপকারী:

$\int udv=uv-\int vdu$ প্রায়শই প্রত্যাশিত মান জড়িত একটি প্রশ্নে, আপনাকে প্রত্যাশিত মান এবং প্রত্যাশিত মান বর্গ খুঁজে বের করতে বলা হবে, তাই ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করার অর্থ হল আপনি ইতিমধ্যে প্রত্যাশিত মান বর্গের জন্য ইন্টিগ্রালের একটি অংশ সমাধান করে ফেলেছেন।

অনিশ্চয়তা

প্রত্যাশিত মান খুঁজে বের করার জন্য জড়িত গণিত জটিল এবং ভুল করার অনেক সুযোগ প্রদান করে, তবে কোয়ান্টাম তত্ত্ব তার নিজস্ব ত্রুটি পরীক্ষার সাথে আসে - হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতি।

${\sigma }_x{\sigma }_p\ge \frac{\hslash }{2}$

${\sigma }_x$ হল অবস্থানের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন, ${\sigma }_p$ হল গতিবেগের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন। চিন্তা করবেন না, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন খুঁজে বের করতে আপনার পরিসংখ্যানে যেমন ক্লান্তিকর গণনা করতে হয় তেমন কিছু করতে হবে না। পরিবর্তে, নিম্নলিখিত সম্পর্ক ব্যবহার করুন:

${\sigma }_x^2=<x^2>-<x{>}^2$

যদি আপনি দেখেন যে আপনার উত্তরগুলো অনিশ্চয়তা নীতি পূরণ করে না, তবে হয় আপনি ভুল করেছেন, অথবা আপনাকে একটি অপ্রাকৃতিক প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে।