কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/পর্যবেক্ষণযোগ্য ও অপারেটর

পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি ও অপারেটর

গড় মানগুলো মনে করুন:

$⟨x⟩=\int |\psi {|}^{2}xdx\text{এবং}⟨p⟩=\hslash ⟨k⟩=\int |\bar{\psi }{|}^2\hslash kdk.$

আগেই বলা হয়েছে, যদি আমরা অপারেটর সংজ্ঞায়িত করি:

$\hat{x}=x$ ("$x$ দ্বারা গুণ") এবং $\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x},$

তবে আমরা লিখতে পারি:

$⟨x⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{x}\psi dx\text{এবং}⟨p⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{p}\psi dx.$

একইভাবে,

$⟨E⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{E}\psi dx\text{যেখানে}\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}.$

ডিফারেনশিয়াল অপারেটর $\partial /\partial \varphi$ এর সাথে কোন পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সম্পর্কিত? যদি $r$ এবং $\theta$ ধ্রুবক হয় (কারণ $\varphi$ অনুসারে আংশিক বিভাজন এটাই নির্দেশ করে), তবে $z$ ধ্রুবক, এবং

$\frac{\partial \psi }{\partial \varphi }=\frac{\partial y}{\partial \varphi }\frac{\partial \psi }{\partial y}+\frac{\partial x}{\partial \varphi }\frac{\partial \psi }{\partial x}.$

যেহেতু $x=r\sin \theta \cos \varphi$ এবং $y=r\sin \theta \sin \varphi ,$ তাই এটি দাঁড়ায় $x\frac{\partial \psi }{\partial y}-y\frac{\partial \psi }{\partial x}$ বা

$-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }=\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x.$

ক্লাসিক্যালভাবে, কক্ষপথীয় কৌণিক ভরবেগ $𝐋=𝐫\times 𝐩,$ অর্থাৎ $L_z=x{p}_y-y{p}_x,$ হওয়ায়, এটা স্পষ্ট যে $\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x$ কে $z$ অক্ষ বরাবর কৌণিক ভরবেগের অপারেটর ${\hat{l}}_z$ হিসেবে বিবেচনা করা উচিত।

তবুও, কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক সংজ্ঞাগুলোকে ক্লাসিক্যাল ভিত্তিতে দাঁড় করানোতে সাবধানতা অবলম্বন করতে হবে। নিচে কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক সংজ্ঞাগুলো দেওয়া হলো:

ধরি $\psi (q_k,t)$ হল একটি বন্ধ সিস্টেম $𝒮$ এর তরঙ্গ ফাংশন যার $K$ মাত্রা স্বাধীনতা আছে। যদি $|\psi (q_k,t){|}^2$ (সংক্ষিপ্তভাবে $|\psi (q_1,\dots ,q_K,t){|}^2$) সময়ান্তরের প্রতি অপরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ যেকোনো সময় $\tau$ অপেক্ষা করলে তার মান পরিবর্তিত হয় না:

$|\psi (q_k,t){|}^2=|\psi (q_k,t+\tau ){|}^2.$

তবে তখন $\psi$ এর সময় নির্ভরতা একটি ফেজ গুণক $e^{i\alpha (q_k,t)}$ এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।

আবার ধরুন যে সময় এবং স্থান নির্দেশাংক $t$ এবং $q_k$ সুষম — সমান ব্যবধান শারীরিকভাবে সমতুল্য। যেহেতু $𝒮$ বন্ধ, তাই ফেজ গুণক $e^{i\alpha (q_k,t)}$ $q_k$ এর উপর নির্ভর করতে পারে না এবং তার ফেজ $t$ এর উপর সর্বোচ্চ সরলরৈখিকভাবে নির্ভর করতে পারে: $2\tau$ সময় অপেক্ষা করা $\tau$ অপেক্ষার দ্বিগুণ হওয়া উচিত:

$e^{i\alpha (2\tau )}=[e^{i\alpha (\tau )}{]}^2=e^{i2\alpha (\tau )}.$

অতএব,

$\psi (q_k,t)=\psi (q_k)e^{-i\omega t}=\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}.$

অর্থাৎ একটি ধ্রুবক (সংরক্ষিত) রাশি $\omega$ অথবা (সাধারণ এককে) $E$ এর অস্তিত্ব বিদ্যমান, এবং এটাকেই সিস্টেমের শক্তি বলা হয়।

এখন ধরুন $|\psi (q_k,t){|}^2$ একটি নির্দিষ্ট স্থানীয় কোঅর্ডিনেট $q_j$ বরাবর অনুবাদে অপরিবর্তিত:

$|\psi (q_j,q_{k\ne j},t){|}^2=|\psi (q_j+\kappa ,q_{k\ne j},t){|}^2.$

তবে $\psi$ এর উপর $q_j$ নির্ভরতা একটি ফেজ গুণক $e^{i\beta (q_k,t)}$ এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ।

আবার ধরুন যে $t$ ও $q_k$ উভয়ই সুষম। যেহেতু সিস্টেমটি বন্ধ, তাই $e^{i\beta (q_k,t)}$ $q_{k\ne j}$ বা $t$ এর উপর নির্ভর করতে পারে না এবং তার ফেজ সর্বোচ্চ $q_j$ এর উপর সরলরৈখিকভাবে নির্ভর করতে পারে:

$e^{i\beta (2\kappa )}=[e^{i\beta (\kappa )}{]}^2=e^{i2\beta (\kappa )}.$

অতএব:

$\psi (q_k,t)=\psi (q_{k\ne j},t)e^{i{k}_j{q}_k}=\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}.$

অর্থাৎ একটি সংরক্ষিত রাশি $k_j$ বা (সাধারণ এককে) $p_j$ বিদ্যমান, এবং এটাকেই সিস্টেমের $j$-উপাদানবিশিষ্ট ভরবেগ বলা হয়।

আপনি নিশ্চয়ই বিষয়টি বুঝতে পারছেন। উপরন্তু, স্থানীয় কোঅর্ডিনেটগুলি গোলীয় কোঅর্ডিনেট $r,\theta ,\varphi$ হতে পারে। যদি $|\psi (r,\theta ,\varphi ,t){|}^2$ $z$ অক্ষ বরাবর ঘূর্ণনে অপরিবর্তিত থাকে এবং $\varphi$ নির্দেশাংক সুষম হয়, তবে:

$\psi (r,\theta ,\varphi ,t)=\psi (r,\theta ,t)e^{im\varphi }=\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }.$

এই ক্ষেত্রে সংরক্ষিত রাশিটিকে বলা হয় সিস্টেমের $z$ অক্ষ বরাবর কৌণিক ভরবেগ।

---

এখন ধরুন $O$ হল একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি, $\hat{O}$ হল সংশ্লিষ্ট অপারেটর, এবং ${\psi }_{\hat{O},v}$ সন্তুষ্ট করে:

$\hat{O}{\psi }_{\hat{O},v}=v{\psi }_{\hat{O},v}.$

তবে আমরা বলি ${\psi }_{\hat{O},v}$ হল $\hat{O}$ অপারেটরের একটি আইগেনফাংশন বা আইগেনস্টেট, এবং এর আইগেনভ্যালু হল $v$। এখন আমরা ${\psi }_{\hat{O},v}$ এর জন্য $O$ এর গড় ও মান বিচ্যুতি নির্ণয় করি। আমরা পাই:

$⟨O⟩=\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }\hat{O}{\psi }_{\hat{O},v}dx=\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }v{\psi }_{\hat{O},v}dx=v\int |{\psi }_{\hat{O},v}{|}^{2}dx=v.$

অতএব,

$\mathrm{\Delta }O=\sqrt{\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }(\hat{O}-v)(\hat{O}-v){\psi }_{\hat{O},v}dx}=0,$

কারণ $(\hat{O}-v){\psi }_{\hat{O},v}=0.$ অর্থাৎ ${\psi }_{\hat{O},v}$ সংশ্লিষ্ট সিস্টেমের জন্য $O$ রাশি বিনা বিচ্যুতির। ফলে, $v$ কে অন্তর্ভুক্ত করে এমন যেকোনো মান পরিসরে $O$ পাওয়ার সম্ভাবনা ১।

আমরা পাই:

$\hat{E}\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}=E\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}$

${\hat{p}}_j\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}=p_j\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}$

${\hat{l}}_z\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }=l_z\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }.$

অতএব, ${\hat{l}}_z$ সত্যিই পরমাণুর কৌণিক ভরবেগের $z$ উপাদানের অপারেটর।

যেকোনো এই ধরনের অপারেটরের আইগেনফাংশনই এমন সিস্টেম নির্দেশ করে যার পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সুনির্দিষ্ট: এর ফাঁপাভাব পরিমাপক মান বিচ্যুতি শূন্য।

এছাড়াও,

${\hat{l}}_x=-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})\text{এবং}{\hat{l}}_y=-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z}).$

যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি কমিউটেটর $[\hat{A},\hat{B}]\equiv \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A},$ তবে অপারেটরদ্বয় $\hat{A}$ এবং $\hat{B}$ কমিউট করে এর অর্থ তাদের কমিউটেটর শূন্য। পরবর্তীতে আমরা দেখাবো যে দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সুসংগত (একসাথে পরিমাপযোগ্য) তখনই যখন তাদের অপারেটর কমিউট করে।

অনুশীলন: দেখাও যে $[{\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y]=i\hslash {\hat{l}}_z.$

একইভাবে পাওয়া যায় $[{\hat{l}}_y,{\hat{l}}_z]=i\hslash {\hat{l}}_x$ এবং $[{\hat{l}}_z,{\hat{l}}_x]=i\hslash {\hat{l}}_y.$ ফলাফল: একটি সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের বিভিন্ন উপাদান অসুসংগত।

অনুশীলন: উপরোক্ত কমিউটেটর ব্যবহার করে দেখাও যে অপারেটর $\widehat{{𝐋}^2}\equiv {\hat{l}}_x^2+{\hat{l}}_y^2+{\hat{l}}_z^2$ ${\hat{l}}_x,$ ${\hat{l}}_y,$ এবং ${\hat{l}}_z$ এর সাথে কমিউট করে।