কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/হাইড্রোজেনের পরবর্তী ধাপ: পর্যায় সারণি

হাইড্রোজেনের পরবর্তী ধাপ: পর্যায় সারণি

যদি আমরা আবার ধরে নিই যে নিউক্লিয়াসটি কেন্দ্রে স্থির এবং আপেক্ষিকতাবাদ ও ঘূর্ণন প্রভাব উপেক্ষা করি, তাহলে হেলিয়ামের স্থির অবস্থা নিম্নলিখিত সমীকরণের সমাধান হবে:

$E\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}[\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y_2^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z_2^2}]+[-\frac{2e^2}{r_1}-\frac{2e^2}{r_2}+\frac{e^2}{r_{12}}]\psi .$

এখানে তরঙ্গ-ফাংশনটি এখন ছয়টি কোঅর্ডিনেটের উপর নির্ভরশীল এবং বিভব শক্তি $V$ তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত। $r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ এবং $r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}$ যথাক্রমে নিউক্লিয়াস থেকে ইলেকট্রনদের দূরত্ব নির্দেশ করে, এবং $r_{12}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$ ইলেকট্রন দুইটির পারস্পরিক দূরত্ব নির্দেশ করে। $e^2/r_{12}$ কে ভাবা যায় ইলেকট্রনদ্বয় $r_1$ ও $r_2$ তে অবস্থান করলে তাদের পারস্পরিক বিভব শক্তির মান হিসেবে।

তাহলে দুটি ইলেকট্রনের জন্য আলাদা তরঙ্গ-ফাংশন নেই কেন? প্রথম ইলেকট্রনকে কোনো নির্দিষ্ট অঞ্চল $A$ তে এবং দ্বিতীয়টিকে অঞ্চল $B$ তে পাওয়ার যুগ্ম সম্ভাবনা হল

$p(A,B)={\int }_A{d}^3{r}_1{\int }_B{d}^3{r}_2|\psi ({𝐫}_1,{𝐫}_2){|}^2.$

যদি প্রথম ইলেকট্রন $A$ অঞ্চলে থাকার সম্ভাবনা দ্বিতীয় ইলেকট্রনের অবস্থানের উপর নির্ভর না করত, তাহলে এর জন্য একটি আলাদা তরঙ্গ-ফাংশন ${\psi }_1({𝐫}_1)$ নির্ধারণ করা যেত; এবং একইভাবে দ্বিতীয় ইলেকট্রনের জন্য ${\psi }_2({𝐫}_2)$। তখন যুগ্ম তরঙ্গ-ফাংশন হতো ${\psi }_1({𝐫}_1){\psi }_2({𝐫}_2)$ এবং যুগ্ম সম্ভাবনাও হতো $p(A)={\int }_A{d}^3{r}_1|\psi ({𝐫}_1){|}^2$ ও $p(B)={\int }_B{d}^3{r}_2|\psi ({𝐫}_2){|}^2$ এর গুণফল। কিন্তু সাধারণভাবে, বিশেষত হেলিয়াম পরমাণুর ক্ষেত্রে, একটি ইলেকট্রনের অবস্থানগত সম্ভাবনা অপরটির অবস্থানের উপর নির্ভরশীল, কারণ তারা একে অপরকে বিকর্ষণ করে (যদিও এটি তত্ত্বীয় ভাষা)।

নিম্ন শক্তির জন্য উপরের সমীকরণ সংখ্যাগতভাবে সমাধান করা হয়েছে। কিন্তু তিন বা ততোধিক ইলেকট্রনের জন্য সংশ্লিষ্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সঠিক সমাধান বের করা অসম্ভব। তা সত্ত্বেও, পর্যায় সারণি এবং রাসায়নিক মৌলগুলোর অনেক বৈশিষ্ট্য নিচের প্রায়োগিক তত্ত্ব দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়।

প্রথমত, আমরা ইলেকট্রনদের পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়ার বিশদ বিবরণ উপেক্ষা করি। পরবর্তীতে, যেহেতু কোনো পরমাণুর রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য তার বহিঃস্থ ইলেকট্রনের উপর নির্ভর করে, আমরা প্রতিটি ইলেকট্রনকে এমন একটি বিভবের অধীন বিবেচনা করি যা (i) নিউক্লিয়াস এবং (ii) বাকি ইলেকট্রনদের প্রতিনিধিত্বকারী একটি ধারাবাহিক, গোলীয়ভাবে সমমিত ঋণাত্মক আধান বিভাজন দ্বারা তৈরি। আমরা স্পিন প্রভাব উপেক্ষা করি শুধুমাত্র পাউলি বর্জন নীতি ছাড়া, যার মতে একদম একই বৈশিষ্ট্যযুক্ত দুটি ইলেকট্রন (বা আরও সাধারণভাবে দুটি ফার্মিয়ন) একই অবস্থায় থাকতে পারে না। তাই দুটি ইলেকট্রনকে একই তরঙ্গ-ফাংশনের সাথে যুক্ত করা যায়, যদি তাদের স্পিন অবস্থাগুলি এমনভাবে পৃথক হয়: একটি নির্দিষ্ট অক্ষে মাপলে একটির ঘূর্ণন হবে "আপ (উপর)", অপরটির হবে "ডাউন (নিচ)"। যেহেতু মাত্র দুটি ফলাফল সম্ভব, তৃতীয় ইলেকট্রন একই তরঙ্গ-ফাংশনের সাথে যুক্ত হতে পারে না।

এই প্রায়োগিক তত্ত্ব ইলেকট্রনের জন্য ${\psi }_{nlm}(𝐫)$ নামক স্থির তরঙ্গ-ফাংশন প্রদান করে, যেগুলোকে অরবিটাল বলা হয়। এগুলো হাইড্রোজেনের একক ইলেকট্রনের জন্য পাওয়া তরঙ্গ-ফাংশনের অনুরূপ, তবে রেডিয়াল কোঅর্ডিনেটের উপর নির্ভরশীলতা বাকি ইলেকট্রনদের ঋণাত্মক আধানের কারণে পরিবর্তিত হয়। এই পরিবর্তনের ফলে একই $n$ কিন্তু ভিন্ন $l$ কুয়ান্টাম সংখ্যার অরবিটালগুলোর শক্তি আর সমান থাকে না। নির্দিষ্ট $n\ge 1$ এর জন্য, উচ্চতর $l$ মানের অরবিটালগুলোর জন্য ইলেকট্রন ও নিউক্লিয়াসের গড় দূরত্ব বেশি হয় এবং এই দূরত্ব যত বেশি হয়, তত বেশি অন্য ইলেকট্রনরা নিউক্লিয়াসের ধনাত্মক আধানকে স্ক্রিন করে। ফলে উচ্চতর $l$ মানের ইলেকট্রন কম বাধ্য থাকে এবং তার আয়নীকরণ শক্তি কম হয়।

রাসায়নিকরা অরবিটালগুলোকে তাদের প্রধান কুয়ান্টাম সংখ্যা অনুসারে শেল-এ ভাগ করে। যেমন, $n$-তম অক্ষে সর্বোচ্চ $n^2\times 2$ টি ইলেকট্রন থাকতে পারে। হেলিয়ামে প্রথম অক্ষ পুরোপুরি পূর্ণ এবং দ্বিতীয় শেল ফাঁকা। যেহেতু হেলিয়াম নিউক্লিয়াসের চার্জ হাইড্রোজেনের দ্বিগুণ, তাই দুটি ইলেকট্রন গড়ে নিউক্লিয়াসের অনেক কাছাকাছি থাকে। ফলে হেলিয়ামের আয়নীকরণ শক্তি অনেক বেশি — ২৩৭২.৩ J/mol, যেখানে হাইড্রোজেনের জন্য তা ১৩১২.০ J/mol। অন্যদিকে, যদি অতিরিক্ত একটি ইলেকট্রন যোগ করতে চাই, সেটি দ্বিতীয় অক্ষে যাবে, যেটি প্রায় পুরোপুরি প্রথম অক্ষের ইলেকট্রনদের দ্বারা নিউক্লিয়াস থেকে আলাদা করা থাকে। তাই হেলিয়াম কোনো ইলেকট্রন সহজে ত্যাগ করে না, আবার অতিরিক্ত ইলেকট্রন ধারণ করতেও পারে না। তাই এটি রাসায়নিকভাবে নিষ্ক্রিয়, যেমন পর্যায় সারণির ডানদিকের সব মৌল।

পর্যায় সারণির দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় অক্ষ পূর্ণ হয়। যেহেতু 2p অরবিটালের শক্তি 2s অরবিটালের চেয়ে বেশি, তাই প্রথমে 2s পূর্ণ হয়। প্রতিটি ইলেকট্রন ও প্রোটনের যোগে ইলেকট্রন বিন্যাস কেন্দ্রীভূত হয়, এবং আয়নীকরণ শক্তি বাড়ে — লিথিয়ামের (Z=3) ৫২০.২ J/mol থেকে নিওনের (Z=10) ২০৮০.৮ J/mol পর্যন্ত। লিথিয়াম সহজে একটি ইলেকট্রন ত্যাগ করে, আবার ফ্লুরিন (Z=9), যার দ্বিতীয় অক্ষে একটি ফাঁকা "জায়গা" আছে, সহজেই একটি ইলেকট্রন গ্রহণ করে। এদের উভয়ই রাসায়নিকভাবে অত্যন্ত সক্রিয়।

তবে একটি অদ্ভুত ব্যতিক্রম দেখা যায় আয়নীকরণ শক্তিতে: অক্সিজেনের (Z=8) আয়নীকরণ শক্তি নাইট্রোজেনের (Z=7) চেয়ে কম — যথাক্রমে ১৩১৩.৯ J/mol ও ১৪০২.৩ J/mol। একই রকমভাবে, সালফারের (Z=16) শক্তি কম — ৯৯৯.৬ J/mol, যেখানে ফসফরাসের (Z=15) ১০১১.৮ J/mol। এর ব্যাখ্যা পেতে আমাদের ইলেকট্রনদের পারস্পরিক বলের কিছু বিশদ বিবেচনা করতে হয়, যেগুলো এতক্ষণ উপেক্ষিত ছিল।

ধরা যাক, কার্বনের (Z=6) দুটি 2p ইলেকট্রনের একটি $m=0$ উপকক্ষে$z$-অক্ষের সঙ্গে সংশ্লিষ্টভাবে অবস্থান করে। তাহলে অন্যটি কোথায় যাবে? এমন কোনো ফাঁকা উপকক্ষে যাবে যা দুই ইলেকট্রনের গড় দূরত্ব সর্বাধিক করে, ফলে বিকর্ষণ সর্বনিম্ন হয়। এটি $|m|=1$ উপকক্ষ নয়, বরং এমন একটি $m=0$ উপকক্ষ যা $z$-অক্ষের লম্ব কোন অক্ষ (ধরা যাক, $x$) বরাবর সংজ্ঞায়িত। তখন নাইট্রোজেনের তৃতীয় 2p ইলেকট্রন যায় $y$-অক্ষের সাথে $m=0$ উপকক্ষে। অক্সিজেনের চতুর্থ 2p ইলেকট্রনের আর কোনো বিকল্প থাকে না, তাকে একটি পূর্ণ উপকক্ষে — বিপরীত গুর্ণন নিয়ে — প্রবেশ করতে হয়। ফলে এর শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে বেড়ে যায়, এবং এই কারণে নাইট্রোজেন থেকে অক্সিজেনে আয়নীকরণ শক্তি হ্রাস পায়।

যখন 3p উপলক্ষ পূর্ণ হয়, তখন 3d অবস্থাগুলোর শক্তি এতটাই বেড়ে যায় (স্ক্রিনিং এর কারণে), যে 4s অবস্থা শক্তিগতভাবে নিচে নেমে আসে। ফলে 4s উপকক্ষ পূর্ণ হওয়ার পরই 3d উপকক্ষ "ভরতে" শুরু হয় — স্ক্যান্ডিয়াম (Z=21) থেকে।

সুতরাং এমনকি পরমাণুর এই সরলীকৃত ও প্রায়োগিক কোয়ান্টাম তত্ত্বও পর্যায় সারণির গুণগত এবং বহু পরিমাণগত বৈশিষ্ট্য পূর্বাভাস দিতে সক্ষম।