কোয়ান্টাম জগৎ/ফেইনম্যান রুট/মুক্ত প্রচারক

প্রপাগেটর ও পথ ইন্টিগ্রাল

ধরা যাক, আমরা Δ 𝑡 Δt সময় ব্যবধানে 𝑚 m বার মধ্যবর্তী অবস্থান মাপছি। প্রতিটি মাপের জন্য ব্যবহৃত হচ্ছে এমন কিছু ডিটেক্টর যেগুলো 𝑅 𝑘 R k ​

 নামে পরিচিত 

𝑛 n সংখ্যক একে অপর থেকে বিচ্ছিন্ন অঞ্চলে বিভক্ত থাকে, যেখানে 𝑘 = 1 , 2 , . . . , 𝑛 k=1,2,...,n।

নিয়ম B অনুযায়ী, এই পরিস্থিতিতে প্রপাগেটরের রূপ হয়:

$⟨B|A⟩=\sum _{k_1=1}^n\cdots \sum _{k_m=1}^n⟨B|R_{k_m}⟩\cdots ⟨R_{k_2}|R_{k_1}⟩⟨R_{k_1}|A⟩$

এখন, যদি আমরা সীমা নিই Δ 𝑡 → 0 Δt→0, যার ফলে 𝑚 → ∞ m→∞, এবং একই সঙ্গে 𝑛 → ∞ n→∞, তাহলে এই বহুসংখ্যক যোগফল রূপান্তরিত হয় একটি ফাংশনাল ইন্টিগ্রালে:

$⟨B|A⟩=\int !𝒟C,Z[𝒞:A\to B]$

এখানে 𝐷 𝐶 DC একটি পথ ইন্টিগ্রাল, যা সাধারণ রিম্যান ইন্টিগ্রালের মতো নয়। এটি একটি "ফাংশনাল ইন্টিগ্রাল", যার প্রতিটি ক্ষুদ্র পাথগুচ্ছ অবদান রাখে ফাংশনের মান অনুযায়ী।

মুক্ত কণা

ধরা যাক, একটি নির্দিষ্ট পথ 𝐶 C ধরা হয়েছে A থেকে B পর্যন্ত। এই পথে একটি অনন্ত ক্ষুদ্র অংশ 𝑑 𝐶 dC বিবেচনা করা যাক। এই খণ্ডটির সূচনা ও সমাপ্তি বিন্দু হচ্ছে:

$(t,x,y,z)\to (t+dt,x+dx,y+dy,z+dz)$

একটি সাধারণ ক্ষেত্রে, এই খণ্ডটির অ্যাম্প্লিটিউড 𝑍 ( 𝑑 𝐶 ) Z(dC) উপরোক্ত স্থান-কাল কোঅর্ডিনেট ও তাদের পার্থক্যগুলোর ওপর নির্ভর করে। তবে একটি মুক্ত কণার জন্য, এটি কেবলমাত্র প্রোপার টাইম 𝑑 𝑠 ds-এর ওপর নির্ভরশীল:

$ds=\sqrt{d{t}^2-\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{c^2}}$

অতএব,

$Z(d𝒞)=Z(ds)$

ক্রমবর্ধমান খণ্ডের অ্যাম্প্লিটিউড গুণফল থেকে নির্গত হয়:

$\prod _{j}Z(d{s}_j)=Z\left(\sum _{j}d{s}_j\right)⟶Z\left({\int }_{𝒞}ds\right)$

ফলে একটি নির্দিষ্ট জটিল সংখ্যা 𝑧 z এর অস্তিত্ব থাকে, যাতে:

$Z[𝒞]=e^{z,s[𝒞:A\to B]}$

এখানে:

$s[𝒞:A\to B]={\int }_{𝒞}ds$

এই ইন্টিগ্রাল A থেকে B পর্যন্ত কণাটির সাথে বহনকৃত ঘড়ির সময় নির্দেশ করে।

স্থিতিশীল কণার ক্ষেত্রে

আমরা যদি প্রপাগেটরের স্কয়ার মোডুলাস ∣ ⟨ 𝐵 ∣ 𝐴 ⟩ ∣ 2 ∣⟨B∣A⟩∣ 2

 কে B বিন্দুর উপর স্থানের ওপরে ইন্টিগ্রেট করি, তবে এটি নির্দেশ করে যে কণাটি B সময়েও বিদ্যমান থাকে—স্থিতিশীল কণার জন্য, এই সম্ভাবনা ১:

$\int d^3{r}_B{|\int 𝒟C,e^{zs[𝒞]}|}^2=1$

এই ইন্টিগ্রালটি যদি সংহত থাকে, তবে তার মান ১ হতে হলে 𝑧 = 𝑎 + 𝑖 𝑏 z=a+ib এর বাস্তব অংশ 𝑎 a অবশ্যই শূন্য হতে হবে। অন্যথায়, 𝑎 > 0 a>0 হলে সম্ভাবনা অসীমের দিকে যাবে এবং 𝑎 < 0 a<0 হলে এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয় হবে।

ভরের অর্থ

অতএব, একটি মুক্ত ও স্থিতিশীল কণার জন্য প্রপাগেটর একমাত্র পরামিতি 𝑏 b-এর ওপর নির্ভর করে। যদি প্রোপার টাইম সেকেন্ডে মাপা হয়, তবে 𝑏 b এর একক হবে রেডিয়ান/সেকেন্ড। তখন:

$Z=e^{ibs}$

তবে ঘড়ির ঘূর্ণনকে ঘড়ির কাঁটার দিকে করতে:

$Z=e^{-ibs}$

"টিকের" হার বোঝাতে 2 𝜋 2π গুণ করা হয়:

$Z=e^{-i2\pi bs}$

𝑏 b-কে শক্তি এককে প্রকাশ করতে Planck ধ্রুবক দ্বারা ভাগ করা হয়:

$Z=e^{-(i/\hslash ),b,s}$

এবং 𝑏 b-কে ভরের এককে প্রকাশ করতে 𝑐 2 c 2

 দ্বারা গুণ করা হয়:

$Z=e^{-(i/\hslash ),b,c^2,s}$

যদি প্রাকৃতিক এককে কাজ করা হয় (যেখানে ℏ = 𝑐 = 1 ℏ=c=1), তবে এই সকল রূপ একই রকম হয়। SulaymanBanna (আলাপ) ১৬:৫৭, ১৮ মে ২০২৫ (ইউটিসি)