কোয়ান্টাম জগৎ/সূচকীয় ফাংশন

সূচকীয় ফাংশন

আমরা $\exp (x)$ ফাংশনটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

${\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)$  এবং  পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp(0)=1।}

এই ফাংশনের মান সর্বত্রই তার ঢালের সমান। প্রথম সংজ্ঞাটি বারবার ডিফারেনশিয়েট করলে আমরা পাই

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp^{(n)}(x)=\exp^{(n-1)}(x)=\cdots=\exp(x)।}

দ্বিতীয় সংজ্ঞা অনুযায়ী ${\exp }^{(k)}(0)=1$ সকল $k$-এর জন্য। এর ফলাফল হলো:

$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

এখন যাচাই করি একটি সুসঙ্গত ফাংশন নিচের সমীকরণটি মেনে চলে কিনা:

$f(a)f(b)=f(a+b)$

যদি এবং কেবল যদি

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)।}

আমরা এটি $f$ গুলোকে $a$ এবং $b$-এর ঘাত রূপে প্রসারিত করে এবং সহগ তুলনা করে প্রমাণ করব। আমাদের আছে

$f(a)f(b)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!k!}{a}^i{b}^k,$

এবং দ্বিপদ উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই

$(a+b{)}^i=\sum _{l=0}^i\frac{i!}{(i-l)!l!}{a}^{i-l}{b}^l,$

তাহলে আমরা পাই

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f(a+b)=\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0)\over i!}(a+b)^i= \sum_{i=0}^\infty\sum_{l=0}^i\frac{f^{(i)}(0)}{(i-l)!\,l!}\,a^{i-l}\,b^l= \sum_{i=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(i+k)}(0)}{i!\,k!}\,a^i\,b^k। }

দারুন!

$\exp (x)$ ফাংশনটি স্পষ্টভাবে $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ মেনে চলে, তাই $f(a)f(b)=f(a+b)$–ও মেনে চলে।

$f(x)=\exp (ux)$ ফাংশনটিও তাই করে।

এছাড়া, $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)$ থেকে প্রমাণ হয় পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f^{(n)}(0) = [f'(0)]^n।}

আমরা এখান থেকে পাই:

• যে ফাংশনগুলো $f(a)f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে তারা একটি এক-প্যারামিটার বিশিষ্ট পরিবার তৈরি করে, যেখানে প্যারামিটার হলো বাস্তব সংখ্যা $f^{\prime }(0),$ এবং

• যে $\exp (ux)$ ফাংশনের এক-প্যারামিটার পরিবার $f(a)f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে, যেখানে প্যারামিটার হলো বাস্তব সংখ্যা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle u।}

কিন্তু $f(x)=v^x$ ফাংশনটিও একটি এক-প্যারামিটার পরিবার তৈরি করে, যা $f(a)f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে, যেখানে প্যারামিটার হলো ধনাত্মক সংখ্যা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle v।}

উপসংহার: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $u$ এর জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা $v$ আছে (এবং বিপরীতভাবে), যাতে $v^x=\exp (ux)$ হয়।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাগুলোর একটি হলো $e,$ যাকে এমন $v$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে $u=1$, অর্থাৎ: $e^x=\exp (x)$:

$e=\exp (1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

---

ন্যাচারাল লগারিদম $\ln (x)$ কে $\exp (x)$–এর বিপরীত ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp[\ln(x)]=\ln[\exp(x)]=x।} দেখাও যে

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle {d\ln f(x)\over dx}={1\over f(x)}{df\over dx}।}

ইঙ্গিত: $\exp \{\ln [f(x)]\}$–কে ডিফারেনশিয়েট করো।