গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/ফলিত গণিত

−div হলো d এর অনুবন্ধী

দাবি করা হচ্ছে, −div হলো d এর অনুবন্ধী:

${\int }_{M}df(X)\omega =-{\int }_{M}f\mathrm{div}X\omega$

উপরোক্ত সমীকরণের প্রমাণ:

${\int }_M(f\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(X)+X(f))\omega ={\int }_M(f{ℒ}_X+{ℒ}_X(f))\omega$

$={\int }_M{ℒ}_{X}f\omega ={\int }_M\mathrm{d}{\iota }_{X}f\omega ={\int }_{\partial M}{\iota }_{X}f\omega$

এখানে যদি f এর দৃঢ় সমর্থন থাকে তাহলে সর্বশেষ যোগজটি উঠে যায়, এবং অভীষ্ট মানটি পাওয়া যায়।

ল্যাপ্লাস-দ্যরাম অপারেটর

এটা প্রমাণ করা যায় যে, যেকোন স্কেলার ফাংশন 'f এর জন্য ল্যাপ্লাস-দ্যরাম অপারেটরটি ল্যাপ্লাস-বেলত্রামি অপারেটরের সংজ্ঞার সমতুল্য। প্রমাণটি এরকম:

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{d}\delta f+\delta \mathrm{d}f=\delta \mathrm{d}f=\delta {\partial }_{i}f\mathrm{d}{x}^i$

$=-\ast \mathrm{d}\ast {\partial }_{i}f\mathrm{d}{x}^i=-\ast \mathrm{d}({\epsilon }_{iJ}\sqrt{|g|}{\partial }^{i}f\mathrm{d}{x}^J)$

$=-\ast {\epsilon }_{iJ}{\partial }_j(\sqrt{|g|}{\partial }^{i}f)\mathrm{d}{x}^j\mathrm{d}{x}^J=-\ast \frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i(\sqrt{|g|}{\partial }^{i}f){\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n$

$=-\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i(\sqrt{|g|}{\partial }^{i}f),$

এখানে ω হচ্ছে আয়তনিক অবস্থা এবং ε হলো লেভি-চিভিটা প্রতীকের সম্পূর্ণ প্রতিসম। এখানে খেয়াল রাখতে হবে যে, বাঁকা ছোট হাতের i হচ্ছে একটি একক সূচক, অন্যদিকে বড় হাতের রোমান J হলো অবশিষ্ট সকল (n-1) সূচক। লক্ষ্য করুন যে, ল্যাপ্লাস-দ্যরাম অপারেটরটি আসলে ল্যাপ্লাস-বেলত্রামি অপারেটরের ঋণাত্মক; এই ঋণাত্মক চিহ্নটি সাধারণ সহ-অন্তরজের সংজ্ঞা মেনে চলে। তবে সতর্ক থাকতে হবে যে, উভয় অপারেটরকেই Δ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

ধর্ম

দেওয়া আছে, f ও g দুইটি স্কেলার ফাংশন এবং একটি বাস্তব সংখ্যা, a এর ল্যাপ্লাসীয় ধর্ম:

$\mathrm{\Delta }(fh)=f\mathrm{\Delta }h+2{\partial }_{i}f{\partial }^{i}h+h\mathrm{\Delta }f.$

প্রমাণ

$\mathrm{\Delta }(fh)=\delta \mathrm{d}fh=\delta (f\mathrm{d}h+h\mathrm{d}f)=\ast \mathrm{d}(f\ast \mathrm{d}h)+\ast \mathrm{d}(h\ast \mathrm{d}f)$

$=\ast (f\mathrm{d}\ast \mathrm{d}h+\mathrm{d}f\wedge \ast \mathrm{d}h+\mathrm{d}h\wedge \ast \mathrm{d}f+h\mathrm{d}\ast \mathrm{d}f)$

$=f\ast \mathrm{d}\ast \mathrm{d}h+\ast (\mathrm{d}f\wedge \ast \mathrm{d}h+\mathrm{d}h\wedge \ast \mathrm{d}f)+h\ast \mathrm{d}\ast \mathrm{d}f$

$=f\mathrm{\Delta }h$

$+\ast ({\partial }_{i}f\mathrm{d}{x}^i\wedge {\epsilon }_{jJ}\sqrt{|g|}{\partial }^{j}h\mathrm{d}{x}^J+{\partial }_{i}h\mathrm{d}{x}^i\wedge {\epsilon }_{jJ}\sqrt{|g|}{\partial }^{j}f\mathrm{d}{x}^J)$

$+h\mathrm{\Delta }f$

$=f\mathrm{\Delta }h+({\partial }_{i}f{\partial }^{i}h+{\partial }_{i}h{\partial }^{i}f)\ast {\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n+h\mathrm{\Delta }f$

$=f\mathrm{\Delta }h+2{\partial }_{i}f{\partial }^{i}h+h\mathrm{\Delta }f$

যেখানে f ও g হচ্ছে দুইটি স্কেলার ফাংশন।