গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/বড় সংখ্যার সূত্র

মনে করি X1, X2, ... হলো একটি অসীম ক্রম যা একইভাবে বিস্তৃত (i.i.d.) অজানা চলক যাদের প্রত্যাশিত মান E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞, তাহলে নমুনার গড় হবে,

${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n).$

দুর্বল সূত্র

উপপাদ্য: যদি $n\to \mathrm{\infty }$ হয় তবে ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$

প্রমাণ:

এই প্রমাণের জন্য সসীম বিভেদক (variance) $\mathrm{Var}(X_i)={\sigma }^2$ ($i$ এর জন্য) ব্যবহার করা হয়। আরো ধরা হয় যে অজানা চলকগুলোর পারস্পারিক নির্ভরশীলতা নেই।

$\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}.$

ক্রমের সাধারণ গড় μ ই নমুনার গড়:

$E({\bar{X}}_n)=\mu .$

চেভিসেভের অসমতা ব্যবহার করে পাই ${\bar{X}}_n$

$\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$

যাকে নিচের মতো ব্যবহার করা যায়:

$\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |<\epsilon )=1-\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$

n অসীমের দিকে ধাবিত হলে রাশির মান ১ এর দিকে ধাবিত হয়। আর সম্ভব্যতার অভিসারী সংজ্ঞা থেকে (দেখুন অজানা চলকের অভিসারীতা) আমরা পাই যে,

$n\to \mathrm{\infty }$ হয় তবে ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$