গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/লা'হোপিটাল নিয়ম

মনে করি লিমিট

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$

কে সরাসরি নির্ণয় করা যায় না কারণ হয় f(a) = g(a) = 0 অথবা

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$

লা'হোপিটালের নিয়ম বলে যে

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

মনে করি উভয়ই শূন্য। তাহলে অন্তরীকরণের মূল নিয়ম বা নিউটনের নিয়ম মতে অন্তরীকরণ হবে,

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

সুতরাং,

$\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$

$\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$

এখন যদি $f$ এবং $g$ উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অসীমের দিকে ধাবিত হয় তাহলে অন্যভাবে অন্তরীকরণকে সজ্ঞায়িত করা হয়

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x+a)}{x}$

তখন

$\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{xf(x+a)}{xg(x+a)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x+a)}{g(x+a)}=\frac{f(x+a)}{g(x+a)}$

টেমপ্লেট:BookCat