গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/√২ একটি অমূলদ সংখ্যা

২ এর বর্গমূল অমূলদ, $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$

প্রমাণ

প্রমাণের খাতিরে ধরে নেই ২ একটি মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ তাই $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ যেখানে a ও b পরস্পর সহমৌলিক।

এটা থেকে বলা যায় যে $2=\frac{a^2}{b^2}$

উভয়পাশে b দ্বারা গুণ করে পাই $2b=\frac{a^2}{b}$। স্পষ্ট যে, 2a একটি পূর্ণসংখ্যা কিন্তু $\frac{a^2}{b}$ একটি ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা। অতএব, $2b\ne \frac{a^2}{b}$
বা, $2\ne \frac{a^2}{b^2}$
অতএব, $\sqrt{2}\ne \frac{a}{b}$
যেহেতু $\sqrt{2}$, ভগ্নাংশ বা $\frac{a}{b}$ আঁকারে লেখা যায় না তাই, $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ (প্রমাণিত)

আরেকটি প্রমাণ

নিম্নোক্ত রিডাক্টিও অ্যাড অ্যাবসার্ডাম যুক্তিটি কম পরিচিত। এটি অতিরিক্ত তথ্য √2 > 1 ব্যবহার করে।

1. অনুমান করুন যে √2 একটি মূলদ সংখ্যা। এর অর্থ হল n ≠ 0 এর সাথে m এবং n পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান যা m/n = √2।
2. তাহলে √2 কে একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ m/n হিসাবে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে লেখা যেতে পারে, কারণ √2 > 0।
3. তারপর $\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot n(\sqrt{2}-1)}{n(\sqrt{2}-1)}=\frac{2n-\sqrt{2}n}{\sqrt{2}n-n}=\frac{2n-m}{m-n}$, কারণ $\sqrt{2}n=m$।
4. যেহেতু √2 > 1, এটি অনুসরণ করে m > n, যার ফলস্বরূপ বোঝায় যে m > 2n – m।
5. সুতরাং √2 এর ভগ্নাংশ m/n, যা (2) অনুসারে ইতিমধ্যেই সর্বনিম্ন পদে, কঠোরভাবে নিম্ন পদে (3) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এটি একটি দ্বন্দ্ব, তাই অনুমান যে √2 যুক্তিসঙ্গত তা অবশ্যই মিথ্যা হতে হবে।

একইভাবে, অনুমান করুন একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার বাহু এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য n এবং m যা স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যা। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অনুপাত m/n সমান √২। এটি একটি ক্লাসিক কম্পাস এবং স্ট্রেইটেজ নির্মাণের মাধ্যমে একটি ছোট সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করা সম্ভব যার বাহু এবং কর্ণের নিজ নিজ দৈর্ঘ্য m;n এবং 2n আছে ;i। এই নির্মাণটি প্রাচীন গ্রীক জিওমিটার দ্বারা নিযুক্ত পদ্ধতির মাধ্যমে √2 এর অযৌক্তিকতা প্রমাণ করে।

ঐতিহাসিক নোট

এই প্রমাণের প্রথম উল্লেখগুলো দাবি করে যে এটি পিথাগোরাসিয় অধীনে গ্রীক গণিতবিদদের দ্বারা রচিত হয়েছিল এবং প্রকৃতপক্ষে প্রথম আনুষ্ঠানিক প্রমাণটি ইউক্লিডস এলিমেন্টস-এ পরে উপস্থাপিত হয়েছিল। যাইহোক, বেশিরভাগ সমসাময়িক (পাশাপাশি আজকের গণিতের অনেক ইতিহাসবিদদের) মত ছিল যে পিথাগোরিয়ানরা নিজেরাই তাদের প্রায় সমস্ত গণিত (এই প্রমাণ সহ) মিশরীয় উৎস থেকে ধার করেছে। কিন্তু আলেকজান্দ্রিয়ার গ্রেট লাইব্রেরির ধ্বংস সেই সভ্যতার প্রায় সমস্ত বর্তমান বৈজ্ঞানিক গ্রন্থগুলিকে নিশ্চিহ্ন করে দিয়েছিল। তাই সম্ভবত এটি চিরকাল একটি রহস্যই থেকে যাবে।

মন্তব্য

• সাধারণীকরণ করে যে কেউই দেখাতে পারে যে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার বর্গমূলই অমূলদ সংখ্যা
• একই ফলাফল প্রমাণ করার আরেকটি উপায় হল: এইটা দেখানো যে $x^2-2$ হলো আইজেনস্টাইনের মানদণ্ড ব্যবহার করে প্রনীত যুক্তির ক্ষেত্রে এটি একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদ।