তড়িৎ ও চুম্বক/আলো/তরঙ্গ সমীকরণ

চার্জ এবং স্রোতের অনুপস্থিতিতে, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ হলো:

$\mathrm{div}𝐄=0$

$\mathrm{div}𝐁=0$

$\mathrm{curl}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

$\mathrm{curl}𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

আমরা উপসংহারে আসতে পারি:

$\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{curl}𝐁=-\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0}\mathrm{curl}\mathrm{curl}𝐄$

অথবা $\mathrm{curl}\mathrm{curl}𝐄=\mathrm{grad}\mathrm{div}𝐄-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄$ (এই সমতার প্রমাণ, $\mathrm{curl}$, $\mathrm{grad}$, $\mathrm{div}$ এবং ${\mathrm{\nabla }}^2$-এর সংজ্ঞা থেকে, এই অধ্যায়ের শেষে দেওয়া হয়েছে)

$\mathrm{div}𝐄=0$

এবং $\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0}=c^2$

তাই

$\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2𝐄$

যেখানে ${\mathrm{\nabla }}^2𝐄=(\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial x^2},\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial y^2},\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial z^2})$

$\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2𝐄$ হলো তরঙ্গ সমীকরণ। এর সমাধানগুলো হলো আলোর গতি $c$-এ প্রচারিত তরঙ্গ, বা এই ধরনের তরঙ্গের উপরিপাতন।