তড়িৎ ও চুম্বক/আলো/ন্যাবলা

একটি স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট, একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স এবং ঘূর্ণন হলো তিনটি মৌলিক অপারেটর যার মাধ্যমে পদার্থবিজ্ঞানীরা তাদের অধিকাংশ গণনা করেন, বিশেষ করে চল তড়িৎ এবং ফ্লুইড মেকানিক্সে । এই তিনটিই নাবলা $\mathrm{\nabla }$ অপারেটর দিয়ে লেখা যায়:

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

$\mathrm{grad}A=\mathrm{\nabla }A=(\frac{\partial A}{\partial x},\frac{\partial A}{\partial y},\frac{\partial A}{\partial z})$

$\mathrm{div}𝐀=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

$\mathrm{curl}𝐀=\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})$

${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

$\mathrm{curl}\mathrm{curl}𝐀=\mathrm{grad}\mathrm{div}𝐀-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ তাই নিম্নরূপে লেখা যায়:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ এর প্রমাণ:

$(\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀){)}_x=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})-\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})$

$=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})-(\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})A_x$

$=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})-(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})A_x$

অন্য দুটি উপাদানের জন্য গণনাও একই রকম।