তড়িৎ ও চুম্বক/ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ/ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স

ম্যাক্সওয়েলের দেওয়া তড়িৎ চুম্বকের মৌলিক সমীকরণগুলো বোঝার জন্য, আমাদের ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স এবং কার্ল বুঝতে হবে।

এর ডাইভারজেন্স বোঝার জন্য, একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ফ্লাক্সকে একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে বোঝা প্রয়োজন।

যদি আমরা একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে তরলের বেগ ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করি, তবে একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে এর ফ্লাক্স হলো সেই পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে তরলের প্রবাহের হার। ফ্লাক্স স্পষ্টতই পৃষ্ঠের দিকনির্দেশের উপর নির্ভর করে:

ধরা যাক $dS$ একটি যথেষ্ট ছোট পৃষ্ঠের উপাদান যাতে আমরা ধরে নিতে পারি যে ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐯$ প্রায় স্থির। ধরি $\widehat{𝐧}$ হলো $dS$-এর লম্ব একটি একক দৈর্ঘ্যের ভেক্টর। তাহলে $\widehat{𝐧}$ দিকে $𝐯$ থেকে $dS$ দিয়ে ফ্লাক্স $d\varphi$ হলো $d\varphi =\widehat{𝐧}.𝐯$ $dS$।

একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে ফ্লাক্স নির্ণয় করতে, আমরা পৃষ্ঠটিকে ছোট ছোট পৃষ্ঠের উপাদানে ভাগ করি এবং সব ফ্লাক্সের যোগফল নির্ণয় করি। যখন পৃষ্ঠের উপাদানগুলোর মাত্রা শূন্যের দিকে মিলিয়ে যায়, তখন এই যোগফলের সীমা একটি ইন্টিগ্রালে পরিণত হয়। এটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে ফ্লাক্স $\varphi$।

$\varphi ={\int }_{S}d\varphi ={\int }_S\widehat{𝐧}\cdot 𝐯$ $dS$

ফ্লাক্স $\varphi$ গণনা করতে আমাদের পৃষ্ঠ অতিক্রমের একটি দিক বেছে নিতে হবে। যদি ভেক্টর ক্ষেত্র একই দিকে যায় তবে ফ্লাক্স ধনাত্মক, অন্যথায় ঋণাত্মক।

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $𝐯$-এর ডাইভারজেন্স $\mathrm{div}𝐯$ প্রতিটি বিন্দুতে পাওয়া যায় এই বিন্দুকে ঘিরে থাকা ক্রমশ ছোট বন্ধ পৃষ্ঠগুলো বিবেচনা করে, যেমন বিন্দুকেন্দ্রিক ছোট গোলক বা ছোট ঘনক। এটি এই ছোট বন্ধ পৃষ্ঠগুলোর মধ্য দিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্রের ফ্লাক্সের সীমা, যে আয়তন তারা সীমাবদ্ধ করে তার দ্বারা ভাগ করা হয়, যখন এই আয়তন শূন্যের দিকে মিলিয়ে যায়। অতিক্রমের দিক সবসময় ভেতর থেকে বাইরের দিকে বেছে নেওয়া হয়।

যদি কোনো বিন্দুতে এর ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হয়, তবে ভেক্টর ক্ষেত্র সেই বিন্দুতে বিচ্ছুরিত, এটি তরলের উৎসের মতো। যদি ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হয়, তবে এটি সেই বিন্দুতে সমবর্তী, এটি তরলের সিঙ্কের মতো।

যেহেতু অসংনম্য তরলের আয়তন স্থির থাকে, তাই এর বেগ ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য, কারণ এখানে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই।

ডাইভারজেন্স গণনা করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করি:

$\mathrm{div}𝐯=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$

যেখানে ক্ষেত্র $𝐯$-এর তিনটি উপাদান হলো $v_x$, $v_y$ এবং $v_z$।

প্রমাণ: আমরা একটি ছোট ঘনক নিয়ে যুক্তি দিই যার প্রতিটি বাহু $a$ এবং যার মুখগুলো xy, xz এবং yz সমতলের সমান্তরাল। yz সমতলের সমান্তরাল মুখগুলোতে, অর্থাৎ x অক্ষের লম্ব, ফ্লাক্স হলো $a^2{v}_x$ এবং $a^2(v_x+a\frac{\partial v_x}{\partial x})$। এই দুইয়ের পার্থক্য হলো $a^3\frac{\partial v_x}{\partial x}$। xz এবং xy সমতলের সমান্তরাল মুখগুলোর জন্যও একই কথা প্রযোজ্য। সুতরাং ঘনক থেকে বের হওয়া মোট ফ্লাক্স হলো $a^3(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})$। এই ফ্লাক্স $a^3\mathrm{div}𝐯$-এর সমান।

ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি বাস্তব সংখ্যা, ধনাত্মক বা ঋণাত্মক, যা স্থানের প্রতিটি বিন্দুতে নির্ধারিত হয়। এটি তাই একটি ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে উদ্ভূত একটি স্কেলার ক্ষেত্র।