তড়িৎ ও চুম্বক/ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ/ম্যাক্সওয়েলের চতুর্থ সমীকরণ

ম্যাক্সওয়েলের চতুর্থ সমীকরণ $\mathrm{curl}𝐁$-কে দুটি পদের যোগফল হিসেবে নির্ধারণ করে। এর একটি পদ বায়ো-সাভার্ট নিয়মের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

অন্তহীন দৈর্ঘ্যের একটি তারের চারপাশে চৌম্বক ক্ষেত্রের রেখাগুলো, যেখানে $I$ স্রোত প্রবাহিত হচ্ছে, বৃত্তাকার এবং তারের লম্ব সমতলে তারের কেন্দ্রে অবস্থিত। বায়ো-সাভার্ট নিয়ম ব্যবহার করে আমরা ক্ষেত্র $𝐁$-এর মাত্রা $B$ গণনা করতে পারি:

$B=\frac{I}{2\pi r{ϵ}_0{c}^2}$

যেখানে $r$ হলো তার থেকে দূরত্ব।

তাই একটি ক্ষেত্র রেখা বরাবর $𝐁$-এর সঞ্চালন হলো:

$2\pi rB=\frac{I}{{ϵ}_0{c}^2}={\mu }_{0}I$

স্টোকসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি লুপের মধ্য দিয়ে $\mathrm{curl}𝐁$-এর ফ্লাক্স সবসময় এই লুপে $𝐁$-এর সঞ্চালনের সমান। যদি $𝐉$ হয় স্রোতের ঘনত্ব, তবে $I$ হলো স্রোত দ্বারা অতিক্রান্ত একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে $𝐉$-এর ফ্লাক্স। $\mathrm{curl}𝐁={\mu }_0𝐉$ স্থাপন করে আমরা অন্তহীন দৈর্ঘ্যের একটি তারের জন্য বায়ো-সাভার্ট নিয়ম পাই।

$\mathrm{curl}𝐁={\mu }_0𝐉$ সর্বত্র সত্য হতে পারে না।

প্রমাণ: ধরা যাক একটি সার্কিট একটি ক্যাপাসিটর দিয়ে গঠিত যা একটি রেজিস্টরে ডিসচার্জ হচ্ছে। এমন একটি লুপ বিবেচনা করুন যা সার্কিটের তারকে ঘিরে আছে। তারের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে $𝐉$-এর ফ্লাক্স স্রোত $I$-এর সমান। কিন্তু ক্যাপাসিটরের দুটি প্লেটের মাঝ দিয়ে যাওয়া একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে $𝐉$-এর ফ্লাক্স শূন্য, কারণ দুটি প্লেটের মাঝে কোনো স্রোত নেই। এখন লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে $\mathrm{curl}𝐁$-এর ফ্লাক্স শুধুমাত্র লুপের উপর নির্ভর করে। তাই $\mathrm{curl}𝐁={\mu }_0𝐉$ সবসময় সত্য হতে পারে না।

অন্যদিকে, যদি আমরা লিখি:

$\mathrm{curl}𝐁={\mu }_0({ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐉)$

তবে আমরা এই ত্রুটি সংশোধন করি।

প্রমাণ: ক্যাপাসিটরের প্লেটগুলোর মাঝে, $E=\sigma /{ϵ}_0$ এবং এটি প্লেটগুলোর লম্ব দিকে পরিচালিত হয়। তাই প্লেটগুলোর মাঝে একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে $𝐄$-এর প্রবাহ হলো $SE=S\sigma /{ϵ}_0=Q/{ϵ}_0$। সুতরাং ক্যাপাসিটরের প্লেটগুলোর মাঝে ${ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$-এর ফ্লাক্স স্রোতের তীব্রতা $dQ/dt=I$-এর সমান।