তরঙ্গ/অন্তরজ

গণিত টিউটোরিয়াল -- অন্তরজ

চিত্র ১.১৫: অন্তরজের প্রাক্কলন, যা হলো স্পর্শক রেখার ঢাল। যখন বিন্দু B, বিন্দু A-এর দিকে অগ্রসর হয়, তখন AB রেখার ঢালটি A বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শকের ঢালের দিকে অগ্রসর হয়।

এই অনুচ্ছেদে অন্তরজ*এর ধারণার একটি সংক্ষিপ্ত পরিচিতি প্রদান করা হয়েছে। অন্তরীকরণ এবং ক্যালকুলাস সম্পর্কে আরও বিস্তারিত আলোচনা ও পর্যালোচনার জন্য, ক্যালকুলাস এবং অন্তরীকরণ দেখুন। 

প্রায়শই আমরা $x$-এর কোনো নির্দিষ্ট মানে একটি ফাংশন $y(x)$-এর স্পর্শক রেখার ঢাল সম্পর্কে জানতে আগ্রহী হই। এই ঢালটিকে অন্তরজ বলা হয় এবং একে $dy/dx$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেহেতু কোনো ফাংশনের একটি স্পর্শক রেখাকে যেকোনো বিন্দু $x$-এ সংজ্ঞায়িত করা যায়, তাই অন্তরজ নিজেই $x$-এর একটি ফাংশন:

$g(x)=\frac{dy(x)}{dx}.$ (২.২৫)

যেমনটি চিত্র ১.১৫-এ তুলে ধরা হয়েছে, বক্ররেখার ওপর সসীম দূরত্বে অবস্থিত দুটি বিন্দু A এবং B-কে যুক্তকারী রেখার ঢাল দ্বারা ফাংশনটির কোনো বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢালকে আসন্নভাবে নির্ণয় করা যেতে পারে:

$\frac{dy}{dx}\approx \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}.$ (২.২৬)

B বিন্দুকে A-এর যত কাছাকাছি আনা হয়, এই আসন্ন মানটি তত বেশি নির্ভুল হতে থাকে। চরম সীমায় যখন B অসীমভাবে A-এর কাছাকাছি চলে আসে, তখন এটি পুরোপুরি সঠিক হয়।

অন্তরজের সারণি

কিছু সাধারণ ফাংশনের অন্তরজ নিচে দেওয়া হলো। প্রতিটি ক্ষেত্রে $c$ হলো একটি ধ্রুবক।

টেমপ্লেট:Wikipedia

অন্তরজের সারণি
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}c=0$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}cx=c$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^c=c{x}^{c-1}$	যেখানে xc এবং cxc−১ উভয়ই সংজ্ঞায়িত।
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-c}\right)=-\frac{c}{x^{c+1}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	x > ০
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{c}^x=c^x\ln c$	c > ০
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\log }_{c}x=\frac{1}{x\ln c}$	c > ০, c ≠ ১
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x=-\sin x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x={\sec }^{2}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\tan x\sec x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x=-{\csc }^{2}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x=-\csc x\cot x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}x=\frac{-1}{1+x^2}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh x=\cosh x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh x=\sinh x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sech}x=-\tanh x\mathrm{sech}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{csch}x=-\coth x\mathrm{csch}x$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arsech}x=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsch}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

জটিল ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে গুণের সূত্র এবং চেইন রুল ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ,

$\frac{d}{dx}(\sin (x)\cos (x))=\frac{d\sin (x)}{dx}\cos (x)+\sin (x)\frac{d\cos (x)}{dx}={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

এবং

$\frac{d}{dx}\log (\sin (x))=\frac{1}{\sin (x)}\frac{d\sin (x)}{dx}=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}.$

---