তরঙ্গ/আলোকবিজ্ঞানের যন্ত্রপাতি

পাতলা লেন্সের সূত্র এবং আলোকবিজ্ঞানের যন্ত্রপাতি

প্রতিফলন এবং প্রতিসরণের সূত্রগুলো জানা থাকলে, কোনো আলোক-যন্ত্রের মধ্য দিয়ে আলোর গতিপথ কীভাবে অনুসরণ করা যায় তা তত্ত্বগতভাবে বোঝা সম্ভব। নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রাথমিক রশ্মির প্রতিটির জন্য, প্রতিটি দর্পণ পৃষ্ঠ বা প্রতিসরাঙ্ক তলে রশ্মির দিকের পরিবর্তন হিসাব করা যেতে পারে। এসব বিন্দুর মধ্যবর্তী স্থানে রশ্মিটি সরলরেখায় চলে।

যদিও ধারণাটি খুবই সহজ, তবে এই পদ্ধতিটি বাস্তব ক্ষেত্রে বেশ জটিল হতে পারে। তবে, যদি পাতলা লেন্সের আসন্নীকরণ নামক একগুচ্ছ আসন্নীকরণ প্রয়োগ করা যায়, তবে পদ্ধতিটি সহজ হয়ে যায়। আমরা একটি প্রিজমের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় আলোক রশ্মির বেঁকে যাওয়া হিসাব করার মাধ্যমে শুরু করছি, যা চিত্র ৩.৪-এ দেখানো হয়েছে।

রশ্মিটি যে $\theta$ কোণে বিচ্যুত হয় তা নির্ণয় করতে নিচের তথ্যগুলো প্রয়োজন:

রশ্মির প্রবেশ ও নির্গমন বিন্দু এবং প্রিজমের উপরের শীর্ষবিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত ত্রিভুজের জ্যামিতি থেকে পাওয়া যায়

$\alpha +(\pi /2-{\theta }_2)+(\pi /2-{\theta }_3)=\pi ,$ (৪.৫)

যা সরলীকরণ করলে হয়

চিত্র ৩.৪: একটি প্রিজমের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় আলোক রশ্মির বেঁকে যাওয়া।

$\alpha ={\theta }_2+{\theta }_3.$ (৪.৬)

রশ্মির প্রবেশ এবং নির্গমন বিন্দুতে স্নেলের সূত্র থেকে আমরা জানতে পারি যে

$n=\frac{\sin ({\theta }_1)}{\sin ({\theta }_2)}n=\frac{\sin ({\theta }_4)}{\sin ({\theta }_3)},$ (৪.৭)

যেখানে $n$ হলো প্রিজমের প্রতিসরাঙ্ক। (পারিপার্শ্বিকের প্রতিসরাঙ্ক ১ ধরা হয়েছে।) কেউ চাইলে এটিও অনুমান করতে পারেন যে

$\theta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha .$ (৪.৮)

এটি এই সত্য থেকে আসে যে চিত্র ৩.৪-এর ছায়াযুক্ত চতুস্তলকের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি হলো $(\pi /2-{\theta }_1)+\alpha +(\pi /2-{\theta }_4)+(\pi +\theta )=2\pi$।

সমীকরণ (৩.৬), (৩.৭), এবং (৩.৮) একত্রিত করলে রশ্মির বিচ্যুতি $\theta$-কে ${\theta }_1$ এবং $\alpha$-এর মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়, তবে এর ফলে প্রাপ্ত রাশিটি অত্যন্ত জটিল হয়। তবে, যদি নিচের শর্তগুলো পূরণ হয়, তবে যথেষ্ট সরলীকরণ সম্ভব:

• কোণ $\alpha \ll 1$।
• কোণ ${\theta }_1\ll 1$ এবং ${\theta }_4\ll 1$।

এই আসন্নীকরণগুলোর সাহায্যে সহজেই দেখানো যায় যে

$\theta =\alpha (n-1)\text{(small angles)}.$ (৪.৯)

চিত্র ৩.৫: একটি লেন্স দ্বারা $\theta$ কোণে বিচ্যুত হওয়া আলোক রশ্মি। $\alpha$ কোণ হলো লেন্সে রশ্মির প্রবেশ ও নির্গমন বিন্দুতে থাকা স্পর্শকগুলোর মধ্যবর্তী কোণ।

সাধারণত, আলোক-যন্ত্রপাতির লেন্স এবং দর্পণগুলোর সমতলের পরিবর্তে বক্রতল থাকে। তবে, আমরা এখনও সমতলে প্রতিফলন এবং প্রতিসরণের সূত্রগুলো ব্যবহার করতে পারি, যদি যে তলের ওপর তরঙ্গ প্যাকেট আপতিত হয়, তার বক্রতা তরঙ্গ প্যাকেটের মাত্রার তুলনায় খুব বেশি না হয়। সাধারণ আলোক-যন্ত্রপাতির ওপর আপতিত আলোর ক্ষেত্রে এই শর্তটি সহজেই পূরণ হয়। এক্ষেত্রে, একটি আলোক রশ্মির বিচ্যুতি সমীকরণ (৩.৯) দ্বারা দেওয়া হয় যদি $\alpha$-কে রশ্মির প্রবেশ ও নির্গমন বিন্দুতে স্পর্শক রেখাগুলোর ছেদবিন্দু হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেমনটি চিত্র ৩.৫-এ দেখানো হয়েছে।

একটি উত্তল লেন্স প্রান্তের চেয়ে কেন্দ্রে বেশি পুরু হয়। কেন্দ্রীয় অক্ষ থেকে $r$ দূরত্বে লেন্সের দুটি তলে স্পর্শক রেখাগুলোর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলো $\alpha =Cr$, যেখানে $C$ একটি ধ্রুবক। তাই কেন্দ্র থেকে $r$ দূরত্বে লেন্সে আঘাত করা একটি রশ্মির বিচ্যুতি কোণ হলো $\theta =Cr(n-1)$, যেমনটি চিত্র ৩.৫-এ নির্দেশিত। $o$ এবং $i$ কোণ দুটির সমষ্টি বিচ্যুতি কোণের সমান: $o+i=\theta =Cr(n-1)$। তবে, ছোট কোণের আসন্নীকরণ যতটুকু পর্যন্ত প্রযোজ্য, ততটুকুর জন্য $o=r/d_o$ এবং $i=r/d_i$ যেখানে $d_o$ হলো বস্তুর দূরত্ব এবং $d_i$ হলো বস্তুর প্রতিবিম্বের দূরত্ব। এই সমীকরণগুলো একত্রিত করে এবং $r$ বাদ দিয়ে পাতলা লেন্সের সূত্র পাওয়া যায়:

$\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=C(n-1)\equiv \frac{1}{f}.$ (৪.১০)

$f$ রাশিটিকে লেন্সের ফোকাস দূরত্ব বলা হয়। লক্ষ করুন যে বস্তু যদি লেন্স থেকে অনেক দূরে থাকে, অর্থাৎ $d_o$ যদি খুব বড় হয়, তবে $f=d_i$ হয়।

চিত্র ৩.৬: একটি উত্তল লেন্স বাম দিকের তীরের ডান দিকে একটি প্রতিবিম্ব তৈরি করছে।

চিত্র ৩.৬-এ একটি উত্তল লেন্স কীভাবে একটি প্রতিবিম্ব তৈরি করে তা দেখানো হয়েছে। বস্তুর প্রতিটি বিন্দু থেকে আসা সমস্ত আলো প্রতিবিম্বের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পড়ার মাধ্যমে প্রতিবিম্বটি তৈরি হয়। বাম দিকের তীরটি যদি একটি আলোকিত বস্তু হয়, তবে লেন্স থেকে আসা আলোকে এক টুকরো কাগজ বা একটি ঘষা কাঁচের পর্দায় পড়তে দিলে তীরের একটি প্রতিবিম্ব ডান দিকে দেখা যাবে। বস্তুর আকার $S_o$ এবং প্রতিবিম্বের আকার $S_i$ লেন্স থেকে বস্তু এবং প্রতিবিম্বের দূরত্বের সাথে সরল জ্যামিতি দ্বারা সম্পর্কিত:

$\frac{S_i}{S_o}=\frac{d_i}{d_o}.$ (৪.১১)

লক্ষ করুন যে একটি উত্তল লেন্স প্রতিবিম্বটিকে উল্টে দেয়।

চিত্র ৩.৭: একটি উত্তল লেন্স দ্বারা অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠন।

লেন্সের ডান দিকে একটি প্রতিবিম্ব তখনই তৈরি হবে যদি $d_o>f$ হয়। যদি $d_o<f$ হয়, তবে লেন্সটি প্রতিবিম্বের রশ্মিগুলোকে একটি বিন্দুতে মিলিত করতে সক্ষম হয় না, যেমনটি চিত্র ৩.৭-এ দেখা যাচ্ছে। তবে, এক্ষেত্রে রশ্মিগুলোর পিছন দিকের বর্ধিত অংশগুলো একটি বিন্দুতে মিলিত হয় যাকে অবাস্তব প্রতিবিম্ব বলা হয়। উত্তল লেন্সের ক্ষেত্রে এটি সর্বদা বস্তুর চেয়ে লেন্স থেকে বেশি দূরে থাকে। লেন্স থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব ঋণাত্মক ধরলে পাতলা লেন্সের সূত্রটি এক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। প্রতিবিম্বটিকে অবাস্তব বলা হয় কারণ এই বিন্দুতে রাখা কোনো ঘষা কাঁচের পর্দায় এটি দৃশ্যমান হয় না। চিত্র ৩.৬-এ দেখা বাস্তব প্রতিবিম্বের মতো, অবাস্তব প্রতিবিম্বটি উল্টানো থাকে না।

চিত্র ৩.৮: একটি অবতল লেন্স দ্বারা অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠন।

একটি অবতল লেন্স প্রান্তের চেয়ে কেন্দ্রে পাতলা হয় এবং এটি কেবল অবাস্তব প্রতিবিম্ব তৈরি করে। চিত্র ৩.৮-এ যেমন দেখা যাচ্ছে, একটি অবতল লেন্স দ্বারা সৃষ্ট অবাস্তব প্রতিবিম্বটি বস্তুর চেয়ে লেন্সের বেশি কাছাকাছি থাকে। এক্ষেত্রেও পাতলা লেন্সের সূত্রটি প্রযোজ্য, তবে প্রতিবিম্ব থেকে লেন্সের দূরত্ব এবং ফোকাস দূরত্ব উভয়ই ঋণাত্মক ধরতে হবে। কেবল বস্তুর দূরত্ব ধনাত্মক থাকে।

চিত্র ৩.৯: একটি অবতল দর্পণ দ্বারা বাস্তব প্রতিবিম্ব গঠন।

বক্র দর্পণগুলোও লেন্সের মতো প্রতিবিম্ব তৈরি করে, যেমনটি চিত্র ৩.৯-এ দেখানো হয়েছে। এই চিত্রে দেখা একটি অবতল দর্পণ উত্তল লেন্সের মতো কাজ করে; বস্তুটি দর্পণের ফোকাস দূরত্বের চেয়ে বেশি না কম দূরে অবস্থিত, তার ওপর ভিত্তি করে এটি বাস্তব বা অবাস্তব প্রতিবিম্ব তৈরি করে। একটি উত্তল দর্পণ অবতল লেন্সের মতো কাজ করে, যা সর্বদা একটি অবাস্তব প্রতিবিম্ব তৈরি করে। কোণগুলো ছোট হলে পাতলা লেন্সের সূত্রটি উভয় ক্ষেত্রেই কাজ করে।

---