তরঙ্গ/উপরিপাতন

উপরিপাতন নীতি

অভিজ্ঞতাগতভাবে দেখা গেছে যে, যতক্ষণ পর্যন্ত বেশিরভাগ মাধ্যমে তরঙ্গের বিস্তার কম থাকে, ততক্ষণ একই ভৌত অবস্থানে থাকা দুটি তরঙ্গ পরস্পরের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে না। এভাবে, উদাহরণস্বরূপ, বিপরীত দিকে গতিশীল দুটি তরঙ্গ তাদের আকৃতি বা বিস্তারের কোনো পরিবর্তন ছাড়াই কেবল একে অপরকে অতিক্রম করে চলে যায়। যখন উপরিপাতিত হয়, তখন মোট তরঙ্গের সরণ হয় কেবল পৃথক তরঙ্গগুলোর সরণের সমষ্টি। একে উপরিবাতন নীতি বলা হয়। যথেষ্ট বড় বিস্তারের ক্ষেত্রে উপরিপাতন নীতিটি প্রায়শই ভেঙে পড়ে — মিথস্ক্রিয়ারত তরঙ্গগুলো একে অপরের থেকে বিচ্ছুরিত হতে পারে, বিস্তার হারাতে পারে বা তাদের রূপ পরিবর্তন করতে পারে।

ব্যতিচার হলো উপরিপাতন নীতিরই একটি ফলাফল। যখন দুই বা ততোধিক তরঙ্গ উপরিপাতিত হয়, তখন নেট তরঙ্গের সরণ হয় কেবল পৃথক তরঙ্গগুলোর সরণের বীজগাণিতিক সমষ্টি। যেহেতু এই সরণগুলো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, তাই নেট সরণ পৃথক তরঙ্গের সরণের চেয়ে বেশি বা কম হতে পারে। পূর্বের ক্ষেত্রটিকে গঠনমূলক ব্যতিচার বলা হয়, আর পরের ক্ষেত্রটিকে ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার বলা হয়।

চিত্র ১.৫: সমান বিস্তার এবং $k_1=4$ ও $k_2=5$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট দুটি সাইন তরঙ্গের (যা উপরের প্যানেলে আলাদাভাবে দেখানো হয়েছে) উপরিপাতন (নিচের প্যানেল)

আসুন দেখা যাক ভিন্ন তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট দুটি সাইন তরঙ্গ উপরিপাতিত করলে কী ঘটে। চিত্র ১.৫-এ $k_1=4$ এবং $k_2=5$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট দুটি তরঙ্গের উপরিপাতন দেখানো হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে, এর ফলে উৎপন্ন তরঙ্গটির তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রাথমিক তরঙ্গ দুটির তরঙ্গদৈর্ঘ্যের প্রায় সমান হয়, তবে সাইন তরঙ্গ দুটি সমদশায় নাকি বিপরীত দশায় রয়েছে তার ওপর ভিত্তি করে এর বিস্তারে ভিন্নতা দেখা যায়। যখন তরঙ্গগুলো সমদশায় থাকে তখন গঠনমূলক ব্যতিচার ঘটে, আর যখন তরঙ্গগুলো বিপরীত দশায় থাকে তখন ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার ঘটে।

চিত্র ১.৬: দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন
চিত্র ১.৬: সমান বিস্তার এবং $k_1=10$ ও $k_2=11$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন

দুটি সাইন তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা পরিবর্তিত হলে কী ঘটে? চিত্র ১.৬-এ ফলাফল দেখানো হয়েছে যখন $k_1=10$ এবং $k_2=11$। লক্ষ্য করুন যে, যদিও লব্ধি তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য হ্রাস পেয়েছে, তবুও যে স্থানগুলোতে বিস্তার সর্বোচ্চ হয়, সেগুলোর $x$ অক্ষ বরাবর ব্যবধান চিত্র ১.৫-এর মতোই রয়েছে।

চিত্র ১.৭: সমান বিস্তার এবং $k_1=10$ ও $k_2=12$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন।

আমরা যদি $k_1=10$ এবং $k_2=12$ বিশিষ্ট তরঙ্গগুলোকে উপরিপাতিত করি, যেমনটি চিত্র ১.৭-এ দেখানো হয়েছে, আমরা দেখতে পাই যে সর্বোচ্চ বিস্তারের অঞ্চলগুলোর $x$ ব্যবধান অর্ধেক কমে গেছে। সুতরাং, লব্ধি তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা উপাদান তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যার গড়-এর মতো কিছুর সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হলেও, সর্বোচ্চ তরঙ্গ বিস্তারের অঞ্চলগুলোর মধ্যকার ব্যবধান উপাদান তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যার পার্থক্য-এর ব্যস্তানুপাতিক বলে মনে হয়। অন্য কথায়, যদি $k_1$ এবং $k_2$ পরস্পরের কাছাকাছি হয়, তবে বিস্তারের সর্বোচ্চ মানগুলো অনেক দূরে দূরে অবস্থান করে এবং এর বিপরীতটাও সত্য।

চিত্র ১.৮: দুটি উপরিপাতিত সাইন তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা এবং বিস্তারের উপস্থাপন।

আমরা চিত্র ১.৫, ১.৬ এবং ১.৭ গঠনকারী সাইন তরঙ্গগুলোকে প্রতীকীভাবে চিত্র ১.৮-এ দেখানো প্লটের মতো একটি প্লট দ্বারা উপস্থাপন করতে পারি। প্রতিটি সাইন তরঙ্গের বিস্তার এবং তরঙ্গসংখ্যা এই চিত্রে উল্লম্ব রেখা দ্বারা নির্দেশ করা হয়েছে।

বৃহৎ তরঙ্গ বিস্তারের অঞ্চলগুলোকে তরঙ্গ প্যাকেট বলা হয়। তরঙ্গ প্যাকেট পরবর্তীতে মূল ভূমিকা পালন করবে, তাই এগুলো সম্পর্কে আমাদের ভালো ধারণা থাকা গুরুত্বপূর্ণ। কেবল দুটি সাইন তরঙ্গ দ্বারা উৎপাদিত তরঙ্গ প্যাকেটগুলো $x$-অক্ষ বরাবর ভালোভাবে পৃথক থাকে না। তবে, আমরা যদি অনেকগুলো তরঙ্গকে উপরিপাতিত করি, তবে আমরা একটি বিচ্ছিন্ন তরঙ্গ প্যাকেট তৈরি করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র ১.৯-এ $k=0.4m$, $m=1,2,\dots ,20$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট $20$টি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতনের ফলাফল দেখানো হয়েছে, যেখানে $k=4$-এর কাছাকাছি তরঙ্গসংখ্যার জন্য তরঙ্গের বিস্তারগুলো সবচেয়ে বড়।

চিত্র ১.৯: $k_0=4$ এবং $\mathrm{\Delta }k=1$ বিশিষ্ট বিশটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন।

বিশেষ করে, আমরা ধরে নিই যে প্রতিটি সাইন তরঙ্গের বিস্তার $\exp [-(k-k_0{)}^2/\mathrm{\Delta }{k}^2]$-এর সমানুপাতিক, যেখানে $k_0=4$ এবং $\mathrm{\Delta }k=1$। চিত্র ১.৯-এর তরঙ্গ প্যাকেট গঠনকারী প্রতিটি সাইন তরঙ্গের বিস্তার পরিকল্পিতভাবে চিত্র ১.১০-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ১.১০: $k_0=4$ এবং $\mathrm{\Delta }k=1$ বিশিষ্ট ২০টি উপরিপাতিত সাইন তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা এবং বিস্তারের উপস্থাপন।

$\mathrm{\Delta }k$ রাশিটি উপরিপাতিত হতে থাকা সাইন তরঙ্গগুলোর বণ্টন নিয়ন্ত্রণ করে — কেবল তরঙ্গ প্যাকেটের কেন্দ্রীয় তরঙ্গসংখ্যা $k_0$-এর আনুমানিক $\mathrm{\Delta }k$ সীমার মধ্যে থাকা $k$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট তরঙ্গগুলো (অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে $3\le k\le 5$-এর জন্য) সমষ্টিতে উল্লেখযোগ্য অবদান রাখে। যদি $\mathrm{\Delta }k$ পরিবর্তন করে $2$ করা হয়, যাতে $2\le k\le 6$ সীমার তরঙ্গসংখ্যাগুলো উল্লেখযোগ্য অবদান রাখে, তবে তরঙ্গ প্যাকেটটি আরও সংকীর্ণ হয়ে যায়, যেমনটি চিত্র ১.১১ এবং ১.১২-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ১.১১: $k_0=4$ এবং $\mathrm{\Delta }k=2$ বিশিষ্ট বিশটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন।

চিত্র ১.১২: $k_0=4$ এবং $\mathrm{\Delta }k=2$ বিশিষ্ট ২০টি উপরিপাতিত সাইন তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা এবং বিস্তারের উপস্থাপন।

$\mathrm{\Delta }k$-কে তরঙ্গ প্যাকেটের তরঙ্গসংখ্যা বিস্তার (wavenumber spread) বলা হয়, এবং এটি স্পষ্টতই দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতনে তরঙ্গসংখ্যার পার্থক্যের মতো একই ভূমিকা পালন করে — তরঙ্গসংখ্যার বিস্তার যত বড় হবে, তরঙ্গ প্যাকেটের ভৌত আকার তত ছোট হবে। তদুপরি, তরঙ্গ প্যাকেটের অভ্যন্তরে দোলনের তরঙ্গসংখ্যা আনুমানিক কেন্দ্রীয় তরঙ্গসংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়।

দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতনের সহজ ক্ষেত্রটি গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে আমরা তরঙ্গ প্যাকেট কীভাবে কাজ করে তা আরও ভালোভাবে বুঝতে পারি। আসুন আমরা $k_0=(k_1+k_2)/2$ সংজ্ঞায়িত করি যেখানে $k_1$ এবং $k_2$ হলো উপাদান তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যা। এছাড়া আসুন আমরা $\mathrm{\Delta }k=(k_2-k_1)/2$ ধরে নিই। $k_0$ এবং $\mathrm{\Delta }k$ রাশিগুলো চিত্র ১.৮-এ জ্যামিতিকভাবে চিত্রিত করা হয়েছে। আমরা $k_1=k_0-\mathrm{\Delta }k$ এবং $k_2=k_0+\mathrm{\Delta }k$ লিখতে পারি এবং $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$ ত্রিকোণমিতিক অভেদটি ব্যবহার করে পাই: $\sin (k_{1}x)+\sin (k_{2}x)=\sin [(k_0-\mathrm{\Delta }k)x]+\sin [(k_0+\mathrm{\Delta }k)x]$ $=\sin (k_{0}x)\cos (\mathrm{\Delta }kx)-\cos (k_{0}x)\sin (\mathrm{\Delta }kx)+$ $\sin (k_{0}x)\cos (\mathrm{\Delta }kx)+\cos (k_{0}x)\sin (\mathrm{\Delta }kx)=2\sin (k_{0}x)\cos (\mathrm{\Delta }kx).$ (২.১৭)

উপরের সমীকরণের শেষ লাইনের সাইন (sine) গুণকটি তরঙ্গ প্যাকেটের অভ্যন্তরে দোলন তৈরি করে, এবং আগে যেমনটি অনুমান করা হয়েছিল, এই দোলনের একটি তরঙ্গসংখ্যা $k_0$ রয়েছে যা উপাদান তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যার গড়ের সমান। কোসাইন (cosine) গুণকটি এই তরঙ্গটিকে মডুলেট করে, যার সর্বোচ্চ বিস্তারের অঞ্চলগুলোর মধ্যবর্তী ব্যবধান হয়:

$\mathrm{\Delta }x=\pi /\mathrm{\Delta }k.$ (২.১৮)

নয়তো, আগের উদাহরণগুলোতে আমরা যেমনটি দেখেছি, তরঙ্গ প্যাকেটের দৈর্ঘ্য $\mathrm{\Delta }x$ উপাদান তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যার বিস্তার $\mathrm{\Delta }k$-এর (যা এই ক্ষেত্রে কেবল দুটি তরঙ্গসংখ্যার মধ্যকার পার্থক্য) ব্যস্তানুপাতিক। এই সম্পর্কটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যার অনিশ্চয়তা নীতির মূল ভিত্তি।