তরঙ্গ/একমাত্রায় তরঙ্গ

তরঙ্গের গণিত

আমরা একটি অতি সাধারণ তরঙ্গের সমীকরণ নিয়ে এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলো বর্ণনার মাধ্যমে তরঙ্গ সম্পর্কে আমাদের আলোচনা শুরু করব। এ ধরনের তরঙ্গের মৌলিক সমীকরণটি হলো

$y=a\sin (\frac{2\pi x}{\lambda }-2\pi ft+\alpha )$

যেখানে $x$ অবস্থানে এবং $t$ সময়ে তরঙ্গের উচ্চতা হলো $y$। এই সমীকরণটি একটি বেশ সাধারণ তরঙ্গকে বর্ণনা করে, তবে বেশিরভাগ জটিল তরঙ্গই হলো মূলত একাধিক সরল তরঙ্গের সমষ্টি। যদি আমরা এই সমীকরণটিকে $t=0$ সময়ে স্থির করি, তবে আমরা পাই

$y=a\sin (\frac{2\pi x}{\lambda }+\alpha )$

যা দেখতে এরকম: [এখানে একটি গ্রাফ যুক্ত করতে হবে]

গ্রাফ থেকে আমরা দেখতে পাই যে তিনটি পরামিতির প্রতিটিরই একটি অর্থ রয়েছে। $a$ হলো তরঙ্গের বিস্তার, অর্থাৎ এটি কতটা উঁচু। $\lambda$ হলো তরঙ্গদৈর্ঘ্য, যা একটি পূর্ণ চক্রে তরঙ্গের কোনো অংশ থেকে পরবর্তী চক্রের একই অংশের মধ্যকার দূরত্ব। $\alpha$ হলো তরঙ্গের দশা, যা তরঙ্গটিকে বামে বা ডানে সরিয়ে দেয়। তরঙ্গদৈর্ঘ্য হলো একটি দূরত্ব, এবং তরঙ্গের ধরন অনুসারে একে সাধারণত মিটার, মিলিমিটার বা এমনকি ন্যানোমিটার এককে পরিমাপ করা হয়। দশা হলো একটি কোণ, যা রেডিয়ান এককে পরিমাপ করা হয়।

যেহেতু আমরা এখন স্থানে তরঙ্গটিকে মানচিত্রায়িত করেছি, তাই চলুন এবার $x=0$ বসাই এবং দেখি সময়ের সাথে তরঙ্গটি কীভাবে পরিবর্তিত হয়

$y=a\sin (-2\pi ft+\alpha )$

বিস্তার $a$ এবং দশা $\alpha$ ঠিক থাকলেও তরঙ্গদৈর্ঘ্যটি আর নেই এবং একটি নতুন রাশির আবির্ভাব ঘটেছে: তা হলো $f$, যা কম্পাঙ্ক বা তরঙ্গটি কত দ্রুত উপরে-নিচে ওঠানামা করে তা নির্দেশ করে। কম্পাঙ্ক সময়ের বিপরীত এককে পরিমাপ করা হয়: একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে তরঙ্গটি কতবার উপরে-নিচে ওঠানামা করে? এর জন্য সাধারণত যে এককটি ব্যবহৃত হয় তা হলো হার্জ, বা ইনভার্স সেকেন্ড।

এবার আসুন এই দুটি চিত্রকে একত্রিত করি এবং দেখি তরঙ্গটি কীভাবে অগ্রসর হয়। চিত্র ৩ হলো এমন একটি রেখাচিত্র যা স্থান ও সময় উভয় ক্ষেত্রেই তরঙ্গটি আঁকলে কেমন দেখাবে তা নির্দেশ করে। সরলরেখাগুলো হলো সেই স্থান যেখানে সরল তরঙ্গটি তার সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন বা শূন্য (যেখানে এটি x অক্ষকে ছেদ করে) মানে পৌঁছায়।

আমরা তরঙ্গের দশা বেগ নির্ণয় করার জন্য শূন্য মানগুলো পর্যবেক্ষণ করতে পারি। দশা বেগ হলো তরঙ্গের কোনো অংশ কত দ্রুত অগ্রসর হয় তা বোঝায়। আমরা এটিকে তরঙ্গের বেগ হিসেবে ভাবতে পারি, তবে আরও জটিল তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটি কেবল এক ধরনের বেগ মাত্র - এ বিষয়ে পরবর্তী অনুচ্ছেদগুলোতে আরও আলোচনা করা হবে।

আমাদের সমীকরণটির মান শূন্য বসিয়ে আমরা শূন্য বিন্দুগুলোর জন্য একটি সমীকরণ পেতে পারি।

$0=a\sin (\frac{2\pi x}{\lambda }-2\pi ft+\alpha )$

$0=\frac{2\pi x}{\lambda }-2\pi ft+\alpha$

$x=f\lambda t-\frac{\alpha \lambda }{2\pi }$

আপনি এখানে দেখতে পাচ্ছেন যে আমরা একটি সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি, যা $f\lambda$ বেগে চলমান একটি বিন্দুকে বর্ণনা করে। এটি আমাদের তরঙ্গের দশা বেগের সমীকরণ দেয়, যা হলো

$\text{velocity}=\text{frequency}\times \text{wavelength}v=f\lambda$

---