তরঙ্গ/একমাত্রিক সমস্যা

সমস্যাসমূহ

1. আপনার নাড়ির স্পন্দনের হার পরিমাপ করুন। প্রতি সেকেন্ডে চক্রের হিসেবে আপনার হৃদস্পন্দনের সাধারণ কম্পাঙ্ক নির্ণয় করুন। রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড এককে কৌণিক কম্পাঙ্ক হিসাব করুন। পর্যায়কাল বের করুন।
2. বেতার জ্যোতির্বিজ্ঞানে বেতার তরঙ্গের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্য হলো $21\text{ cm}$। (এটি নিস্তড়িৎ হাইড্রোজেন থেকে আসে)। এই তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা নির্ণয় করুন। এর সাধারণ ও কৌণিক কম্পাঙ্ক হিসাব করুন। (আলোর বেগ ৩·১০^৮ m/s)
3. $A=\sin (2x)$ এবং $B=\sin (3x)$ তরঙ্গ দুটির উপরিপাতনের ফলে প্রাপ্ত লব্ধি তরঙ্গটি অঙ্কন করুন। সমীকরণ (১.১৭)-এ প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে $\sin (5x/2)$ এবং $\cos (x/2)$-এর মাধ্যমে $A+B$-এর একটি সূত্র বের করুন। এই সূত্রটি ব্যবহার করে যে তরঙ্গটি পাওয়া যায়, তা কি আপনার আগের অঙ্কিত তরঙ্গের সাথে মেলে?
4. ${\lambda }_1$ এবং ${\lambda }_2$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দুটি সাইন তরঙ্গ উপরিপাতিত হয়ে $L$ দৈর্ঘ্যের তরঙ্গগুচ্ছ তৈরি করে। যদি আমরা $L$-কে আরও বড় করতে চাই, তবে আমাদের কি ${\lambda }_1$ এবং ${\lambda }_2$-কে একে অপরের কাছাকাছি আনতে হবে নাকি আরও দূরে সরাতে হবে? আপনার যুক্তির ব্যাখ্যা দিন।
5. চিত্র ১.৯-এর সাথে চিত্র ১.১০ এবং চিত্র ১.১১-এর সাথে চিত্র ১.১২-এর তুলনা করে নির্ধারণ করুন যে, সমীকরণ (১.১৮) অন্ততপক্ষে একটি আসন্ন অর্থে বিচ্ছিন্ন তরঙ্গগুচ্ছের জন্য কাজ করে কিনা।
6. সঙ্গীতে ক্রোম্যাটিক স্কেলের কম্পাঙ্কগুলো নিচে দেওয়া হলো 

$f_i=f_0{2}^{i/12},i=0,1,2,\dots ,11,$ (২.৪২) 

যেখানে $f_0$ হলো একটি ধ্রুবক যা স্কেলের সর্বনিম্ন স্বরের কম্পাঙ্কের সমান।

1. 1. যদি $f_0=440\text{ Hz}$ ("A" স্বর) হয়, তবে $f_1$ থেকে $f_{11}$ পর্যন্ত কম্পাঙ্কগুলো হিসাব করুন।
   2. উপরের ফলাফলগুলো ব্যবহার করে, "A" ($i=0$) এবং "B" ($i=2$) স্বরের মধ্যবর্তী বিট কম্পাঙ্ক কত? (এখানে কম্পাঙ্কগুলো রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ডের পরিবর্তে প্রতি সেকেন্ডে চক্রের হিসেবে দেওয়া হয়েছে।)
   3. উপরের কম্পাঙ্কগুলোর কোন জোড়াটি সবচেয়ে ক্ষুদ্র বিট কম্পাঙ্ক তৈরি করে? আপনার যুক্তির ব্যাখ্যা দিন।
2. বড় জাহাজগুলো সাধারণত পৃষ্ঠ তরঙ্গের দশা বেগের চেয়ে দ্রুত চলতে পারে না, যদি তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য জাহাজের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়। এর কারণ হলো, এই ধরনের পরিস্থিতিতে প্রপালশন বলের (propulsive force) বেশিরভাগ অংশই জাহাজটিকে ত্বরান্বিত করার পরিবর্তে বড় বড় ঢেউ তৈরিতে ব্যয় হয়।
   1. একটি $300\text{ m}$ দীর্ঘ জাহাজ অত্যন্ত গভীর জলে কত দ্রুত চলতে পারে?
   2. জাহাজটি যখন অগভীর জলে প্রবেশ করে, তখন কি এর সর্বোচ্চ বেগ বৃদ্ধি পায় নাকি হ্রাস পায়? ব্যাখ্যা করুন।
3. এই অনুচ্ছেদে উল্লিখিত আলোর প্রতিসরাঙ্কের সূত্র ব্যবহার করে বলুন, $k$-এর কোন পাল্লার জন্য কোনো স্বচ্ছ মাধ্যমে আলোর দশা বেগ শূন্যমাধ্যমে আলোর বেগকে ছাড়িয়ে যায়?
4. একটি পুলিশের রাডার মাইক্রোওয়েভের একটি রশ্মিকে বিভক্ত করে কাজ করে, যার একাংশ আপনার গাড়ি থেকে প্রতিফলিত হয়ে রাডারে ফিরে আসে এবং অন্য অংশটি একটি নির্দিষ্ট পথে ভ্রমণ করে তার সাথে ব্যতিচার ঘটায়, যেমনটি চিত্র ১.১৯-এ দেখানো হয়েছে।
   1. যদি মাইক্রোওয়েভের তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda$ হয়, তবে দুটি রশ্মির মধ্যকার ব্যতিচার গঠনমূলক থেকে ধ্বংসাত্মক এবং আবার গঠনমূলক হতে হলে আপনাকে আপনার গাড়িতে কত দূর ভ্রমণ করতে হবে?
   2. আপনি যদি রাডারের দিকে $v=30\text{ m}{\text{ s}}^{-1}$ বেগে ভ্রমণ করেন, তবে প্রতি সেকেন্ডে কতবার গঠনমূলক ব্যতিচারের চূড়া তৈরি হবে তা উপরের ফলাফল ব্যবহার করে নির্ণয় করুন। ধরে নিন যে $\lambda =3\text{ cm}$।

চিত্র ১.১৯: একটি পুলিশের রাডারের রেখাচিত্র।

চিত্র ১.২০: একটি ফ্যাব্রি-প্যারট ইন্টারফেরোমিটারের রেখাচিত্র।

1. ধরুন আপনি একটি মাইকেলসন ইন্টারফেরোমিটারের মধ্য দিয়ে যাওয়া আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য খুব নির্ভুলভাবে জানেন। একটি ছোট পদার্থের টুকরোর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে আপনি কীভাবে ইন্টারফেরোমিটারটি ব্যবহার করতে পারেন তা বর্ণনা করুন।
2. একটি ফ্যাব্রি-প্যারট ইন্টারফেরোমিটার (চিত্র ১.২০ দেখুন) একে অপরের থেকে $d$ দূরত্বে রাখা দুটি সমান্তরাল অর্ধ-রৌপ্যায়িত দর্পণ নিয়ে গঠিত, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। সোজাসুজি পার হয়ে যাওয়া রশ্মিটি এমন একটি রশ্মির সাথে ব্যতিচার ঘটায় যা উভয় দর্পণপৃষ্ঠ থেকে একবার করে প্রতিফলিত হয়। $\lambda$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য, $d$-এর কোন মানগুলো গঠনমূলক ব্যতিচারের সৃষ্টি করে?
3. একটি ফ্যাব্রি-প্যারট ইন্টারফেরোমিটারের কাঁচের প্লেট দুটির মধ্যকার দূরত্ব $d=2\text{ cm}$, যার ফলে সরাসরি এবং দুবার প্রতিফলিত হওয়া রশ্মির মধ্যে ব্যতিচার ঘটে (চিত্র ১.২০ দেখুন)। প্লেট দুটির মাঝখানের ফাঁকা স্থান থেকে বাতাস বের করে নেওয়ার সময়, রশ্মিগুলো ২৩টি গঠনমূলক-ধ্বংসাত্মক-গঠনমূলক ব্যতিচারের চক্র পার করে। যদি ব্যতিচার ঘটানো রশ্মিগুলোর আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $5\times 10^{-7}\text{ m}$ হয়, তবে ইন্টারফেরোমিটারে প্রাথমিকভাবে থাকা বাতাসের প্রতিসরাঙ্ক নির্ণয় করুন।
4. কোনো এক বিশেষ ধরনের তরঙ্গের ওপর পরিমাপ করে দেখা গেছে যে, তরঙ্গের কৌণিক কম্পাঙ্ক নিচের সারণিতে দেখানো উপায়ে তরঙ্গসংখ্যার সাথে পরিবর্তিত হয়:

$\omega$ (${\text{s}}^{-1}$)	$k$ (${\text{m}}^{-1}$)
৫	১
২০	২
৪৫	৩
৮০	৪
১২৫	৫

1. 1. $k=3{\text{ m}}^{-1}$ এবং $k=4{\text{ m}}^{-1}$-এর জন্য তরঙ্গটির দশা বেগ হিসাব করুন।
   2. অন্তরজের জন্য সসীম পার্থক্য আসন্ন মান ব্যবহার করে $k=3.5{\text{ m}}^{-1}$-এর জন্য গুচ্ছবেগ প্রাক্কলন করুন।
2. ধরুন, কোনো এক ধরনের তরঙ্গের (স্বীকার্যভাবে অদ্ভুত) বিচ্ছুরণ সম্পর্ক চিত্র ১.২১-এ দেখানো হয়েছে।
   1. $k$-এর কোন মানগুলোর জন্য তরঙ্গের দশা বেগ ধনাত্মক?
   2. $k$-এর কোন মানগুলোর জন্য গুচ্ছবেগ ধনাত্মক?

চিত্র ১.২১: একটি অদ্ভুত বিচ্ছুরণ সম্পর্কের রেখাচিত্র।

1. অগভীর জলের তরঙ্গের জন্য গুচ্ছবেগ হিসাব করুন। অগভীর জলের তরঙ্গের দশা বেগের সাথে এর তুলনা করুন। (সংকেত: আপনাকে প্রথমে $c(k)$ থেকে $\omega (k)$-এর একটি সূত্র প্রতিপাদন করতে হবে।)
2. গভীর জলের তরঙ্গের জন্য উপরের সমস্যাটির পুনরাবৃত্তি করুন।
3. শব্দ তরঙ্গের জন্য এর পুনরাবৃত্তি করুন। অগভীর জলের তরঙ্গের সাথে এই ক্ষেত্রটির কী মিল রয়েছে?

---